Глава 2. Вписанный угол. (66)

Основные сведения

1. Угол ABC, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают эту окружность, называют вписанным в окружность. Пусть O — центр окружности. Тогда РABC = РAOC / 2, если точки B и O лежат по одну сторону от AC, и РABC = 180° – РAOC / 2, если точки B и O лежат по разные стороны от AC. Важнейшим и наиболее часто используемым следствием этого факта является то, что величины углов, опирающихся на равные хорды, либо равны, либо составляют в сумме 180°.
2. Величина угла между хордой AB и касательной к окружности, проходящей через точку A, равна половине угловой величины дуги AB.
3. Угловые величины дуг, заключенных между параллельными хордами, равны.
4. Как уже говорилось, величины углов, опирающихся на одну хорду, могут быть равны, а могут составлять в сумме 180°. Для того чтобы не рассматривать различные варианты расположения точек на окружности, введем понятие «ориентированный угол между прямыми». Величиной ориентированного угла между прямыми AB и CD (обозначение:  Р(AB,CD)) будем называть величину угла. на который нужно повернуть против часовой стрелки прямую AB так, чтобы она стала параллельна прямой CD. При этом углы, отличающиеся на n · 180°, считаются равными. Следует отметить, что ориентированный угол между прямыми CD и AB не равен ориентированному углу между прямыми AB и CD (они составляют в сумме 180° или, что по нашему соглашению то же самое, 0°).
   Легко проверить следующие свойства ориентированных углов:
   а)  Р(AB,BC) =  – Р(BC,AB);
   б)  Р(AB,CD) + Р(CD,EF) = Р(AB,EF);
   в) точки A,B,C,D, не лежащие на одной прямой, принадлежат одной окружности тогда и только тогда, когда Р(AB,BC) = Р(AD,DC) (для доказательства этого свойства нужно рассмотреть два случая: точки B и D лежат по одну сторону от AC; точки B и D лежат по разные стороны от AC).

• Вводные задачи (5)
• 1. Углы, опирающиеся на равные дуги (13)
• 2. Величина угла между двумя хордами (7)
• 3. Угол между касательной и хордой (10)
• 4. Связь величины угла с длиной дуги и хорды (8)
• 5. Четыре точки, лежащие на одной окружности (12)
• 6. Вписанный угол и подобные треугольники (11)