1863
358
442
всего задач:
всего разделов:
активных пользователей:
  Login: (регистрация)
  Пароль:
    

30 мартра 2005

Форумы снова функционируют.

21 декабря 2004

Видимо в связи с обнаруженными дырами в phpBB, форум был взломан, а через него взломано и всё остальное содержимое ceemat.ru. Всё кроме форума восстановлено, ведется дискуссия по поводу его сохранения.
Приносим извинения за неудобства.

29 сентября 2004

Форум обновился до версии 2.0.10

15 мая 2004

Новый раздел: "Программирование"

16 апреля 2004 года

Задачи Ярославского турнира математических боев — 124 задачи с решениями.

29 марта 2004

Таллинская викторина: занимательные вопросы и задачи для увлеченных химией.

Rambler's Top100

Костромской ЦДООШ СУНЦ МГУ - Школа им. А. Н. Колмогорова.\r\nОфициальный сайт

1/2 финала. Вариант 2 (10)

Страницы:  1 

1.

Из каждой вершины (не обязательно выпуклого) многоугольника можно провести диагональ длины, не превосходящей 1, целиком лежащую внутри многоугольника. Докажите, что у этого многоугольника найдется сторона, длина которой не превосходит 1.

 16 Апреля 2004     21:33 

2.

Пусть n - натуральное число, большее 1. Докажите, что

 16 Апреля 2004     21:33 

3.

Отрезок железной дороги между городами A и K имеет длину 56 км. Поезд делает на нем 9 промежуточных остановок — на станциях B, C, D, E, F, G, H, I и J. Известно, что длина любых двух соседних участков дороги не превосходит 12 км, а длина любых трех подряд идущих участков дороги не меньше 17 км. Найдите расстояние между станциями B и G.

 16 Апреля 2004     21:34 

4.

Докажите, что сумма квадратов всех делителей натурального числа n (включая 1 и n) не может равняться (n + 1)2.

 16 Апреля 2004     21:34 

5.

Таблица m ´ n (m, n ³ 3) заполнена числами так, что числа в каждом столбце образуют арифметическую прогрессию. Какие-то две строки этой таблицы также являются арифметическими прогрессиями. Докажите, что и в остальных строках таблицы тоже записаны арифметические прогрессии.

 16 Апреля 2004     21:35 

6.

Про натуральные числа x, y и z известно, что (z + 1)x2 + x = zy2 + y.

Докажите, что число (y – x) является точным квадратом.

 16 Апреля 2004     21:35 

7.

Решите уравнение:

 16 Апреля 2004     21:35 

8.

Восемь шахматистов сыграли турнир в один круг. Известно, что в любой тройке шахматистов были двое, сыгравшие между собой вничью. Какое наименьшее число ничьих могло быть в этом турнире?

 16 Апреля 2004     21:36 

9.

В квадрат вписан четырехугольник P (на каждой стороне квадрата по одной вершине четырехугольника), в который в свою очередь вписали квадрат (также на каждой стороне четырехугольника по одной вершине квадрата), причем все 12 вершин этих четырехугольников различны. Могло ли так получиться, что у четырехугольника P все стороны попарно различны?

 16 Апреля 2004     21:36 

10.

Точка O — центр описанной окружности треугольника ABC; лучи AO и CO вторично пересекают описанную окружность соответственно в точках D и E таких, что ÐDEC = ÐDAB и ÐEDA = ÐECB. Докажите, что треугольник ABC равносторонний.

 16 Апреля 2004     21:36 
Задач на странице:  5  10  25