1863
358
446
всего задач:
всего разделов:
активных пользователей:
  Login: (регистрация)
  Пароль:
    

30 мартра 2005

Форумы снова функционируют.

21 декабря 2004

Видимо в связи с обнаруженными дырами в phpBB, форум был взломан, а через него взломано и всё остальное содержимое ceemat.ru. Всё кроме форума восстановлено, ведется дискуссия по поводу его сохранения.
Приносим извинения за неудобства.

29 сентября 2004

Форум обновился до версии 2.0.10

15 мая 2004

Новый раздел: "Программирование"

16 апреля 2004 года

Задачи Ярославского турнира математических боев — 124 задачи с решениями.

29 марта 2004

Таллинская викторина: занимательные вопросы и задачи для увлеченных химией.

Rambler's Top100

Костромской ЦДООШ СУНЦ МГУ - Школа им. А. Н. Колмогорова.\r\nОфициальный сайт

1/2 финала. Вариант 2 (10)

Точка O — центр описанной окружности треугольника ABC; лучи AO и CO вторично пересекают описанную окружность соответственно в точках D и E таких, что ÐDEC = ÐDAB и ÐEDA = ÐECB. Докажите, что треугольник ABC равносторонний.

Первый случай: центр окружности лежит внутри треугольника (треугольник остроугольный).

Углы DAC и DEC равны как опирающиеся на одну дугу, из условия ÐDEC = ÐDAB, значит ÐDAC = ÐDAB. Аналогично ÐECB = ÐECA.

Значит, в треугольнике ABC совпадают центры вписанной и описанной окружности. Не трудно доказать, что это возможно только в равностороннем треугольнике.

Второй случай: когда центр окружности лежит вне треугольника ABC. Такое невозможно, так как из равенства углов DEC и DAB легко вывести равенство дуг BD и CD, но тогда часть дуги равна целой дуге.

 16 Апреля 2004     21:36 
Раздел каталога :: Ссылка на задачу