Высшая лига и лига 9 классов (8)

1.

Имеется 2002 точки, никакие три из которых не лежат на одной прямой. Каждая пара точек соединена отрезком. Можно ли окрасить каждый отрезок в один из шести заданных цветов так, чтобы не оказалось ни одного треугольника, все стороны которого имеют одинаковые цвета?

2.

Докажите, что для любого натурального n > 1 существует набор из 2n попарно различных натуральных чисел а₁, а₂, …, а_n, b₁, b₂, …, b_n такой, что

а₁! × а₂! × … × а_n! = b₁! × b₂! × … × b_n!.

(Cимволом m! обозначают произведение всех натуральных чисел от 1 до m включительно: m! = 1 × 2 × … × m).

3.

В восьми банках сидят 80 пауков. Разрешается выбрать любые две банки, в которых суммарное число пауков четное, и пересадить часть пауков из одной банки в другую так, чтобы их стало поровну. Верно ли, что независимо от начального размещения пауков такими операциями можно добиться того, чтобы в банках оказалось поровну пауков?

4.

На плоскости изображены оси координат и график функции y = 1 / (8x). Масштаб по обеим осям одинаков, но не указан на чертеже. Постройте точку с координатами (1; 1), пользуясь только циркулем.

5.

Найдите все простые р, для которых среди дробей имеется ровно (р + 2) несократимых.

6.

Клетки квадрата 11 ´ 11 раскрашены в белый и черный цвета. У каждой клетки соседей одного с ней цвета меньше, чем соседей противоположного цвета (соседними считаются клетки, имеющие общую сторону). Каково наибольшее возможное количество белых клеток?

7.

Через точку пересечения внешних касательных к двум окружностям проведена секущая CD и касательная AB, как показано на рисунке. Лучи AE и BD пересекают окружность, проведенную через точки A, B и C, в точках M и N. Докажите, что прямые CD и MN параллельны.

8.

Окружность разбита пятьюдесятью точками на 50 дуг длиной 1, 2, …, 50. Известно, что длины любых двух противоположных дуг различаются на 25. Докажите, что 50-угольник с вершинами в этих точках имеет хотя бы две параллельные стороны.