358
469
всего разделов:
активных пользователей:
30 мартра 2005
Форумы снова функционируют.
21 декабря 2004
Видимо в связи с обнаруженными дырами в phpBB, форум был взломан, а через него взломано и всё остальное содержимое ceemat.ru. Всё кроме форума восстановлено, ведется дискуссия по поводу его сохранения.
Приносим извинения за неудобства.
29 сентября 2004
Форум обновился до версии 2.0.10
15 мая 2004
Новый раздел: "Программирование"
16 апреля 2004 года
Задачи Ярославского турнира математических боев — 124 задачи с решениями.
29 марта 2004
Таллинская викторина: занимательные вопросы и задачи для увлеченных химией.
Высшая лига и лига 9 классов (8)
Окружность разбита пятьюдесятью точками на 50 дуг длиной 1, 2, …, 50. Известно, что длины любых двух противоположных дуг различаются на 25. Докажите, что 50-угольник с вершинами в этих точках имеет хотя бы две параллельные стороны. |
Объединим в пару дуги, между которыми с одной и другой стороны расположено равное число дуг. Пронумеруем эти пары по ходу часовой стрелки числами от 1 до 25. Рассмотрим первую пару. Пусть разность длин дуг с одной стороны от пары и с другой стороны равна N; число N кратно 25. Для второй пары эта разность либо такая же, либо отличается на 25. Третья пара отличается от второй либо на 0, либо на 25, и так далее. Но для 25-й пары эта разность отличается от –N также на 0 или 25, так как следующая для нее пара — первая (но перевернутая). Значит, разность поменяет знак и для какой-то пары равна нулю. Эта пара дуг стягивает параллельные хорды. |
Автор: В. Произволов. |
28 Февраля 2004 22:34 Раздел каталога :: Ссылка на задачу
|