358
469
всего разделов:
активных пользователей:
30 мартра 2005
Форумы снова функционируют.
21 декабря 2004
Видимо в связи с обнаруженными дырами в phpBB, форум был взломан, а через него взломано и всё остальное содержимое ceemat.ru. Всё кроме форума восстановлено, ведется дискуссия по поводу его сохранения.
Приносим извинения за неудобства.
29 сентября 2004
Форум обновился до версии 2.0.10
15 мая 2004
Новый раздел: "Программирование"
16 апреля 2004 года
Задачи Ярославского турнира математических боев — 124 задачи с решениями.
29 марта 2004
Таллинская викторина: занимательные вопросы и задачи для увлеченных химией.
Высшая лига и лига 9 классов (8)
Докажите, что для любого натурального n > 1 существует набор из 2n попарно различных натуральных чисел а1, а2, …, аn, b1, b2, …, bn такой, что а1! × а2! × … × аn! = b1! × b2! × … × bn!. (Cимволом m! обозначают произведение всех натуральных чисел от 1 до m включительно: m! = 1 × 2 × … × m). |
Проведем доказательство по индукции. Утверждение верно при n = 2 и n = 3. Действительно, для любого натурального числа a выполняется a! × (a2 + 3a + 2)! = (a + 2)! × (a2 + 3a + 1)!,(*) для любых натуральных a и b верно равенство (a! – 1)! × a! × (b!)! = (b! – 1)! × b! × (a!)!, Пусть утверждение верно для любого n < k. Докажем для n = k. Так как k > 3, то найдется набор попарно различных чисел а1, а2, …, аk–2, b1, b2, …, bk–2 (пусть число c — наибольшее из этих чисел), что а1! × а2! × … × аk–2! = b1! × b2! × … × bk–2!.(**) Тогда возьмем число a, большее нежели число c, и перемножим равенства (*) и (**), при этом получим верное равенство для набора из 2k попарно различных чисел. Утверждение доказано. |
Автор: В. Сендеров. |
28 Февраля 2004 22:26 Раздел каталога :: Ссылка на задачу
|