Третий тур боев (14)

1.

Найти сумму 1² – 2² + 3² – 4² + ... – 1998².

2.

Учитель написал на доске 5 уравнений:
ax + b = 0,
bx + c = 0,
cx + d = 0,
dx + e = 0,
ex + a = 0.

Сеня похвастался, что может заменить буквы a, b, c, d, e числами так, что три из этих уравнений не будут иметь решений. Докажите, что Сеня не прав.

3.

Квадрат со стороной 1 разрезается на прямоугольники, периметр каждого из которых равен 2.
a) Может ли при этом получиться 5 частей?
b) Сколькими способами можно получить 6 частей?
c) Какое количество частей можно получить?

4.

Двадцать корзин расставили по кругу. Можно ли разложить в эти корзины 99 арбузов так, чтобы количество арбузов в любых двух соседних корзинах отличалось на единицу?

5.

В числе переставили цифры и получили число в 3 раза меньше исходного. Докажите, что исходное число делилось на 27.

6.

В некотором году три последовательных месяца содержали ровно по четыре воскресенья каждый. Докажите, что один из этих месяцев — февраль.

7.

В семейном ансамбле “Ласковый Лай” участвуют Тит Фомич, Фома Титович, Фома Фролович, Фрол Фомич и Фрол Фролович Собакины. Один из них поет, его отец играет на шарманке, брат держит в руках микрофон, а дети бьют в барабан. Как зовут певца?

8.

В треугольнике ABC на сторонах BC и AB отмечены середины сторон (точки A₁ и C₁ соответственно). На стороне AC отметили точку B₁ такую, что треугольник A₁BC₁ равен треугольнику A₁B₁C (не обязательно в таком соответствии вершин). Обязательно ли прямые AB и A₁B₁ параллельны?

9.

Внутри (вне) квадрата ABCD взяты точки E и F такие, что треугольники AEB и AFD — равносторонние.
a) Докажите, что ED ^ FC.
b) Докажите, что центр квадрата равноудален от прямых ED и FC.

10.

Найти наибольшее двадцатизначное число, десятичная запись которого состоит из 10 единиц и 10 двоек, причем никакие четыре соседних цифры не образуют число 2111.

11.

В вершинах куба расставили числа 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8. На каждой грани записали сумму чисел в ее вершинах. Могут ли на гранях получиться 6 последовательных натуральных чисел?

12.

По кругу расставили 26 чисел. Оказалось, что среднее арифметическое любых трех подряд идущих чисел одно и тоже. Следует ли отсюда, что все расставленные числа равны между собой?

13.

Пусть x, y — целые числа. Докажите, что 6x + 11y кратно 31 тогда и только тогда, когда x + 7y кратно 31.

14.

Можно ли 100 гирь массой 1г, 2г, ..., 100г разложить на десять кучек так, чтобы любые две кучки имели различные массы, причем в любой более легкой кучке было больше гирь, чем в любой более тяжелой?