Третий тур боев (14)

1.

Найти сумму 1² – 2² + 3² – 4² + ... – 1998².

2.

Учитель написал на доске 5 уравнений:
ax + b = 0,
bx + c = 0,
cx + d = 0,
dx + e = 0,
ex + a = 0.

Сеня похвастался, что может заменить буквы a, b, c, d, e числами так, что три из этих уравнений не будут иметь решений. Докажите, что Сеня не прав.

3.

Квадрат со стороной 1 разрезается на прямоугольники, периметр каждого из которых равен 2.
a) Может ли при этом получиться 5 частей?
b) Сколькими способами можно получить 6 частей?
c) Какое количество частей можно получить?

4.

Двадцать корзин расставили по кругу. Можно ли разложить в эти корзины 99 арбузов так, чтобы количество арбузов в любых двух соседних корзинах отличалось на единицу?

5.

В числе переставили цифры и получили число в 3 раза меньше исходного. Докажите, что исходное число делилось на 27.