Третий тур боев (14)

6.

В некотором году три последовательных месяца содержали ровно по четыре воскресенья каждый. Докажите, что один из этих месяцев — февраль.

7.

В семейном ансамбле “Ласковый Лай” участвуют Тит Фомич, Фома Титович, Фома Фролович, Фрол Фомич и Фрол Фролович Собакины. Один из них поет, его отец играет на шарманке, брат держит в руках микрофон, а дети бьют в барабан. Как зовут певца?

8.

В треугольнике ABC на сторонах BC и AB отмечены середины сторон (точки A₁ и C₁ соответственно). На стороне AC отметили точку B₁ такую, что треугольник A₁BC₁ равен треугольнику A₁B₁C (не обязательно в таком соответствии вершин). Обязательно ли прямые AB и A₁B₁ параллельны?

9.

Внутри (вне) квадрата ABCD взяты точки E и F такие, что треугольники AEB и AFD — равносторонние.
a) Докажите, что ED ^ FC.
b) Докажите, что центр квадрата равноудален от прямых ED и FC.

10.

Найти наибольшее двадцатизначное число, десятичная запись которого состоит из 10 единиц и 10 двоек, причем никакие четыре соседних цифры не образуют число 2111.