Вариант боев 3 (8)

1.

В Чебабурге имеют хождение монеты трех видов: 1, 2 и 5 талеров. Масса каждой монеты одного из видов (в унциях) совпадает с ее достоинством (в талерах), масса каждой монеты другого вида в полтора раза больше ее достоинства, а масса каждой монеты третьего вида — в два раза больше. Имеется неограниченный запас монет каждого вида и чашечные весы без гирь. Какое наименьшее количество взвешиваний позволит наверняка определить массу монет каждого достоинства?

2.

В равнобедренном треугольнике ABC (AB = BC) проведена биссектриса AM. Найдите углы треугольника, если известно, что BM = AC.

3.

Пусть M — конечное подмножество множества целых чисел, причем количество элементов в M кратно четырем, а между любыми двумя числами, не принадлежащими M, расположено четное количество элементов из M. Докажите, что M можно разбить на две части с равным числом элементов и равной суммой.

4.

Клетчатый прямоугольник 2 ´ 3 сложен из 17 спичек, как показано на рисунке. Какие размеры может иметь клетчатый прямоугольник, составленный из 1000 таких же спичек?

5.

На стороне АВ равностороннего треугольника АВС, отмечена точка C₁ , а на стороне АС — точка В₁ так, что ВC₁ = AВ₁ = АВ : 3; М — точка пересечения отрезков ВВ₁ и СC₁. Найдите угол АМС.

6.

Можно ли в кубе с ребром 2000 разместить 7 точек так, чтобы расстояние между любыми двумя было бы больше 2001? Точки можно помещать и на поверхности куба.

7.

Целые числа x, y, z таковы, что числа xy + 1, yz + 1 и zx + 1 являются полными квадратами. Докажите, что произведение xyz делится на 8.

8.

Решите систему уравнений:

.