5. Четыре точки, лежащие на одной окружности (12)

1.

Задача 2.39

Из произвольной точки M катета BC прямоугольного треугольника ABC на гипотенузу AB опущен перпендикуляр MN. Докажите, что РMAN = РMCN.

2.

Задача 2.40

Диагонали трапеции ABCD с основаниями AD и BC пересекаются в точке O; точки Bў и Cў симметричны вершинам B и C относительно биссектрисы угла BOC. Докажите, что РCўAC = РBўDB.

3.

Задача 2.41

Продолжения сторон AB и CD вписанного четырехугольника ABCD пересекаются в точке P, а продолжения сторон BC и AD &mdash в точке Q. Докажите, что точки пересечения биссектрис углов AQB и BPC со сторонами четырехугольника являются вершинами ромба.

4.

Задача 2.42*

Вписанная окружность касается сторон AB и AC треугольника ABC в точках M и N. Пусть P — точка пересечения прямой MN и биссектрисы угла B (или ее продолжения). Докажите, что:

a) РBPC = 90°;

б) S_ABP : S_ABC = 1 : 2.

5.

Задача 2.43*

Внутри четырехугольника ABCD взята точка M так, что ABMD — параллелограмм. Докажите, что если РCBM = РCDM, то РACD = РBCM.

6.

Задача 2.44*

Прямые AP,BP и CP пересекают описанную окружность треугольника ABC в точках A₁,B₁ и C₁. Точки A₂, B₂ и C₂ взяты на прямых BC,CA и AB так, что Р(PA₂,BC) = Р(PB₂,CA) = Р(PC₂,AB). Докажите, что DA₂B₂C₂ ~ DA₁B₁C₁.

7.

Задача 2.45*

Вокруг правильного треугольника APQ описан прямоугольник ABCD, причем точки P и Q лежат на сторонах BC и CD соответственно;  Pў и Qў &,dash; середины сторон AP и AQ. Докажите, что треугольники BQўC и CPўD правильные.

8.

Задача 2.46*

Докажите, что если для вписанного четырехугольника ABCD выполнено равенство CD = AD + BC, то точка пересечения биссектрис углов A и B лежит на стороне CD.

9.

Задача 2.47*

Диагонали AC и CE правильного шестиугольника ABCDEF разделены точками M и N так, что AM : AC = CN :  CE = λ. Найдите λ, если известно, что точки B,M и N лежат на одной прямой.

10.

Задача 2.48*

Треугольники ABC и A₁B₁C₁ имеют соответственно параллельные стороны, причем стороны AB и A₁B₁ лежат на одной прямой. Докажите, что прямая, соединяющая точки пересечения описанных окружностей треугольников A₁BC и AB₁C, содержит точку C₁.

11.

Задача 2.49*

В треугольнике ABC проведены высоты AA₁,BB₁ и CC₁. Прямая KL параллельна CC₁, причем точки K и L лежат на прямых BC и B₁C₁ соответственно. Докажите, что центр описанной окружности треугольника A₁KL лежит на прямой AC.

12.

Задача 2.50*

Через точку O пересечения биссектрис треугольника ABC проведена прямая MN перпендикулярно CO, причем M и N лежат на сторонах AC и BC соответственно. Прямые AO и BO пересекают описанную окружность треугольника ABC в точках Aў и Bў. Докажите, что точка пересечения прямых AўN и BўM лежит на описанной окружности.