5. Четыре точки, лежащие на одной окружности (12)

1.

Задача 2.39

Из произвольной точки M катета BC прямоугольного треугольника ABC на гипотенузу AB опущен перпендикуляр MN. Докажите, что РMAN = РMCN.

2.

Задача 2.40

Диагонали трапеции ABCD с основаниями AD и BC пересекаются в точке O; точки Bў и Cў симметричны вершинам B и C относительно биссектрисы угла BOC. Докажите, что РCўAC = РBўDB.

3.

Задача 2.41

Продолжения сторон AB и CD вписанного четырехугольника ABCD пересекаются в точке P, а продолжения сторон BC и AD &mdash в точке Q. Докажите, что точки пересечения биссектрис углов AQB и BPC со сторонами четырехугольника являются вершинами ромба.

4.

Задача 2.42*

Вписанная окружность касается сторон AB и AC треугольника ABC в точках M и N. Пусть P — точка пересечения прямой MN и биссектрисы угла B (или ее продолжения). Докажите, что:

a) РBPC = 90°;

б) S_ABP : S_ABC = 1 : 2.

5.

Задача 2.43*

Внутри четырехугольника ABCD взята точка M так, что ABMD — параллелограмм. Докажите, что если РCBM = РCDM, то РACD = РBCM.