1863
358
457
всего задач:
всего разделов:
активных пользователей:
  Login: (регистрация)
  Пароль:
    

30 мартра 2005

Форумы снова функционируют.

21 декабря 2004

Видимо в связи с обнаруженными дырами в phpBB, форум был взломан, а через него взломано и всё остальное содержимое ceemat.ru. Всё кроме форума восстановлено, ведется дискуссия по поводу его сохранения.
Приносим извинения за неудобства.

29 сентября 2004

Форум обновился до версии 2.0.10

15 мая 2004

Новый раздел: "Программирование"

16 апреля 2004 года

Задачи Ярославского турнира математических боев — 124 задачи с решениями.

29 марта 2004

Таллинская викторина: занимательные вопросы и задачи для увлеченных химией.

Rambler's Top100

Костромской ЦДООШ СУНЦ МГУ - Школа им. А. Н. Колмогорова.\r\nОфициальный сайт

М741 - М760 (20)

Страницы:  1  2  » 

1.

M741

а) Найдите хотя бы одно натуральное число, которое делится на 30 и имеет ровно 30 различных делителей (включая 1 и само число).

б) Укажите все такие числа.

 18 Января 2004     21:07 

2.

M742

На а) окружности, б) сфере радиусом 1 расположены n точек. Докажите, что сумма квадратов попарных расстояний между ними не больше n2.

 18 Января 2004     21:08 

3.

M743

В стране N городов.

а) Между любыми двумя городами имеется прямое сообщение самолетом или пароходом. Докажите, что, пользуясь лишь каким-то одним видом транспорта, из любого города можно попасть в любой другой (возможно, с пересадками).

б) Между любыми двумя городами имеется прямое сообщение самолетом, поездом или пароходом. Докажите, что можно выбрать не менее N/2 городов и один из трех видов транспорта так, что, пользуясь им одним, из любого выбранного города можно попасть в любой другой выбранный город.

в) Приведите пример, доказывающий, что в утверждении б) заменить число N/2 большим, вообще говоря, нельзя.

 18 Января 2004     21:10 

4.

M744*

В треугольник АВС вписан подобный ему треугольник А1В1С1 (вершины А1, В1, С1 углов, равных по величине ÐА, ÐB, ÐC, лежат соответственно на отрезках ВС, СА и АВ). Пусть А0, В0, С0 — точки пересечения прямых 1 и 1, АA1 и 1, BB1 и AA1. Докажите, что шесть окружностей, описанных около треугольников АВС0, ВСA0, АСB0, А1В1С0, А1В1С0, А1В1С0, пересекаются в одной точке.

 18 Января 2004     21:11 

5.

M745*

а) Задана последовательность чисел (dn) таких, что ½dn½£1 (n = 1, 2, ...). Докажите, что можно выбрать последовательность (sn) из чисел +1 и -1 так, что для всех n выполняется неравенство ½d1s1 + d2s2 +...+ dnsn½£1.

б) Задана последовательность троек чисел (anbncn) таких, что ½an½£1, ½bn½£1, ½cn½£1, и an + bn + cn = 0 (n = 1, 2, ...). По ней строится новая последовательность троек (xnynzn), в которой xn = yn = zn = 0 , а каждая тройка (xnynzn) при n³1 получается из предыдущей (xn-1, yn-1, zn-1) путем прибавления к xn-1 одного из чисел по нашему выбору, к yn-1 – другого, к zn-1 - третьего. Можем ли мы всегда добиться того, что все числа xnynzn будут по абсолютной величине не больше 1 или хотя бы ограничены некоторой константой?

в) Выясните аналогичные вопросы для последовательностей четверок чисел.

 18 Января 2004     21:12 

6.

M746

Бумажный квадрат складывается пополам по некоторой прямой l, проходящей через его центр, в (невыпуклый) девятиугольник. Как нужно провести прямую l, чтобы:

а) полученный девятиугольник имел наибольшую площадь?

б)* в нем помещалась окружность наибольшего возможного радиуса (показано на рисунке)?

 18 Января 2004     21:14 

7.

M747

а) Сумма n чисел равна 0, сумма их модулей равна a. Докажите, что разность между наибольшим и наименьшим из них не меньше 2a/n.

б)* Внутри выпуклого n-угольника А1A2A3...An выбрана точка O так, что сумма векторов равна нулевому вектору, а сумма их длин равна d. Докажите, что периметр этого n-угольника не меньше 4d/n.

в)* Можно ли улучшить эту оценку (при некоторых n)?

 18 Января 2004     21:15 

8.

M748

а) Можно ли разместить на плоскости конечное число парабол так, чтобы их внутренние области покрыли всю плоскость? (Внутренней областью параболы мы называем выпуклую фигуру, границей которой служит эта парабола — см. рисунок)

б)* В пространстве расположено несколько непересекающихся конусов. Докажите, что их нельзя переместить так, чтобы они покрыли все пространство. (Конусом мы называем здесь неограниченную выпуклую фигуру, полученную в результате вращения некоторого угла вокруг его биссектрисы.)

 18 Января 2004     21:16 

9.

M749*

а) Докажите, что если x1, x2, x3 — положительные числа, то
;
при каких условиях это неравенство превращается в равенство?

б) Докажите, что если x1, x2, ..., xn — положительные числа, то
;
причем равенство возможно только при n = 4.

в) Докажите, что при n > 4 неравенство пункта б) является точным в том смысле, что ни при каком n число 2 в правой части нельзя заменить на большее.

 18 Января 2004     21:17 

10.

M750

Докажите, что как бы ни раскрасить клетки бесконечного листа клетчатой бумаги в N цветов, найдутся

а) прямоугольник, вершины которого лежат в центрах клеток одного цвета (а стороны идут параллельно линиям сетки — по горизонтальным и вертикальным прямым — см. рисунок а);

б) l горизонтальных и m вертикальных прямых, которые пересекаются в центрах lm клеток одного цвета (l и m — любые натуральные числа — см. рисунок б);

в) равнобедренный прямоугольный треугольник, вершины которого — центры клеток одного цвета, при N = 2 (показано на рисунке в);

г)* то же для N = 3.

 18 Января 2004     21:18 
Задач на странице:  5  10  25