1863
358
459
всего задач:
всего разделов:
активных пользователей:
  Login: (регистрация)
  Пароль:
    

30 мартра 2005

Форумы снова функционируют.

21 декабря 2004

Видимо в связи с обнаруженными дырами в phpBB, форум был взломан, а через него взломано и всё остальное содержимое ceemat.ru. Всё кроме форума восстановлено, ведется дискуссия по поводу его сохранения.
Приносим извинения за неудобства.

29 сентября 2004

Форум обновился до версии 2.0.10

15 мая 2004

Новый раздел: "Программирование"

16 апреля 2004 года

Задачи Ярославского турнира математических боев — 124 задачи с решениями.

29 марта 2004

Таллинская викторина: занимательные вопросы и задачи для увлеченных химией.

Rambler's Top100

Костромской ЦДООШ СУНЦ МГУ - Школа им. А. Н. Колмогорова.\r\nОфициальный сайт

М741 - М760 (20)

Страницы:  1  2  3  4  » 

1.

M741

а) Найдите хотя бы одно натуральное число, которое делится на 30 и имеет ровно 30 различных делителей (включая 1 и само число).

б) Укажите все такие числа.

 18 Января 2004     21:07 

2.

M742

На а) окружности, б) сфере радиусом 1 расположены n точек. Докажите, что сумма квадратов попарных расстояний между ними не больше n2.

 18 Января 2004     21:08 

3.

M743

В стране N городов.

а) Между любыми двумя городами имеется прямое сообщение самолетом или пароходом. Докажите, что, пользуясь лишь каким-то одним видом транспорта, из любого города можно попасть в любой другой (возможно, с пересадками).

б) Между любыми двумя городами имеется прямое сообщение самолетом, поездом или пароходом. Докажите, что можно выбрать не менее N/2 городов и один из трех видов транспорта так, что, пользуясь им одним, из любого выбранного города можно попасть в любой другой выбранный город.

в) Приведите пример, доказывающий, что в утверждении б) заменить число N/2 большим, вообще говоря, нельзя.

 18 Января 2004     21:10 

4.

M744*

В треугольник АВС вписан подобный ему треугольник А1В1С1 (вершины А1, В1, С1 углов, равных по величине ÐА, ÐB, ÐC, лежат соответственно на отрезках ВС, СА и АВ). Пусть А0, В0, С0 — точки пересечения прямых 1 и 1, АA1 и 1, BB1 и AA1. Докажите, что шесть окружностей, описанных около треугольников АВС0, ВСA0, АСB0, А1В1С0, А1В1С0, А1В1С0, пересекаются в одной точке.

 18 Января 2004     21:11 

5.

M745*

а) Задана последовательность чисел (dn) таких, что ½dn½£1 (n = 1, 2, ...). Докажите, что можно выбрать последовательность (sn) из чисел +1 и -1 так, что для всех n выполняется неравенство ½d1s1 + d2s2 +...+ dnsn½£1.

б) Задана последовательность троек чисел (anbncn) таких, что ½an½£1, ½bn½£1, ½cn½£1, и an + bn + cn = 0 (n = 1, 2, ...). По ней строится новая последовательность троек (xnynzn), в которой xn = yn = zn = 0 , а каждая тройка (xnynzn) при n³1 получается из предыдущей (xn-1, yn-1, zn-1) путем прибавления к xn-1 одного из чисел по нашему выбору, к yn-1 – другого, к zn-1 - третьего. Можем ли мы всегда добиться того, что все числа xnynzn будут по абсолютной величине не больше 1 или хотя бы ограничены некоторой константой?

в) Выясните аналогичные вопросы для последовательностей четверок чисел.

 18 Января 2004     21:12 
Задач на странице:  5  10  25