М741 - М760 (20)

11.

M751*

На окружности намечены 3k точек, разделяющих ее на 3k дуг, из которых k дуг имеют длину 1, еще k дуг — длину 2, и остальные k дуг — длину 3. Докажите, что среди отмеченных точек найдутся две диаметрально противоположные.

12.

M752

Квадратная таблица n×n клеток заполнена целыми числами. При этом в клетках, имеющих общую сторону, записаны числа, отличающиеся друг от друга не больше, чем на 1. Докажите, что хотя бы одно число встречается в таблице:

а) не менее чем [n/2] раз ([a] — целая часть a);

б) не менее чем n раз.

13.

M753

Числа a, b, c лежат на интервале (0, p/2) и удовлетворяют равенствам: cos a = a, sin cos b = b, cos sin c = c. Расположите числа в порядке возрастания.

14.

M754*

а) Существуют ли многочлены P = P(x, y, z), Q = Q(x, y, z), R = R(x, y, z) от переменных x, y, z такие, что выполнено тождество
(x - y + 1)³P + (y - z - 1)³Q + (z - 2x + 1)³R = 1?

б) тот же вопрос для тождества
(x - y + 1)³P + (y - z - 1)³Q + (z - x + 1)³R = 1.

15.

M755

Внутри тетраэдра выбрана точка M. Докажите, что хотя бы одно ребро тетраэдра видно из точки M под углом, косинус которого не больше чем –1/3.