1. Углы, опирающиеся на равные дуги (13)

1.

Задача 2.1

Вершина A остроугольного треугольника ABC соединена отрезком с центром O описанной окружности. Из вершины A проведена высота AH. Докажите, что РBAH = РOAC.

2.

Задача 2.2

Две окружности пересекаются в точках M и K. Через M и K проведены прямые AB и CD соответственно, пересекающие первую окружность в точках A и C, вторую в точках B и D. Докажите, что AC || BD.

3.

Задача 2.3

Из произвольной точки M, лежащей внутри данного угла с вершиной A, опущены перпендикуляры MP и MQ на стороны угла. Из точки A опущен перпендикуляр AK на отрезок PQ. Докажите, что РPAK = РMAQ.

4.

Задача 2.4

а) Продолжение биссектрисы угла B треугольника ABC пересекает описанную окружность в точке M; O- центр вписанной окружности,  O_b- центр вневписанной окружности, касающейся стороны AC. Докажите, что точки A,C,O и O_b лежат на окружности с центром M.

б) Точка O, лежащая внутри треугольника ABC, обладает тем свойством, что прямые AO,BO и CO проходят через центры описанных окружностей треугольников BCO,ACO и ABO. Докажите, что O- центр вписанной окружности треугольника ABC.

5.

Задача 2.5

Вершины A и B треугольника ABC с прямым углом C скользят по сторонам прямого угла с вершиной P. Докажите, что точка C перемещается при этом по отрезку.

6.

Задача 2.6

Диагональ AC квадрата ABCD совпадает с гипотенузой прямоугольного треугольника ACK, причем точки B и K лежат по одну сторону от прямой AC. Докажите, что

и
.

7.

Задача 2.7

В треугольнике ABC проведены медианы AA₁ и BB₁. Докажите, что если РCAA₁ = РCBB₁, то AC = BC.

8.

Задача 2.8

Все углы треугольника ABC меньше 120°. Докажите, что внутри его существует точка, из которой все стороны треугольника видны под углом 120°.

9.

Задача 2.9

Окружность разделена на равные дуги n диаметрами. Докажите, что основания перпендикуляров, опущенных из произвольной точки M, лежащей внутри окружности, на эти диаметры, являются вершинами правильного многоугольника.

10.

Задача 2.10

На окружности даны точки A,B,M и N. Из точки M проведены хорды MA₁ и MB₁, перпендикулярные прямым NB и NA соответственно. Докажите, что AA₁ || BB₁.

11.

Задача 2.11

Шестиугольник ABCDEF вписанный, причем AB || DE и BC || EF. Докажите, что CD || AF.

12.

Задача 2.12

Многоугольник A₁A₂… A_2n вписанный. Про все пары его противоположных сторон, кроме одной, известно, что они параллельны. Докажите, что при n нечетном оставшаяся пара сторон тоже параллельна, а при n четном оставшаяся пара сторон равна по длине.

13.

Задача 2.13

Дан треугольник ABC. Докажите, что существует два семейства правильных треугольников, стороны которых (или их продолжения) проходят через точки A,B и C. Докажите также, что центры треугольников этих семейств лежат на двух концентрических окружностях.