1. Углы, опирающиеся на равные дуги (13)

1.

Задача 2.1

Вершина A остроугольного треугольника ABC соединена отрезком с центром O описанной окружности. Из вершины A проведена высота AH. Докажите, что РBAH = РOAC.

2.

Задача 2.2

Две окружности пересекаются в точках M и K. Через M и K проведены прямые AB и CD соответственно, пересекающие первую окружность в точках A и C, вторую в точках B и D. Докажите, что AC || BD.

3.

Задача 2.3

Из произвольной точки M, лежащей внутри данного угла с вершиной A, опущены перпендикуляры MP и MQ на стороны угла. Из точки A опущен перпендикуляр AK на отрезок PQ. Докажите, что РPAK = РMAQ.

4.

Задача 2.4

а) Продолжение биссектрисы угла B треугольника ABC пересекает описанную окружность в точке M; O- центр вписанной окружности,  O_b- центр вневписанной окружности, касающейся стороны AC. Докажите, что точки A,C,O и O_b лежат на окружности с центром M.

б) Точка O, лежащая внутри треугольника ABC, обладает тем свойством, что прямые AO,BO и CO проходят через центры описанных окружностей треугольников BCO,ACO и ABO. Докажите, что O- центр вписанной окружности треугольника ABC.

5.

Задача 2.5

Вершины A и B треугольника ABC с прямым углом C скользят по сторонам прямого угла с вершиной P. Докажите, что точка C перемещается при этом по отрезку.