358
471
всего разделов:
активных пользователей:
30 мартра 2005
Форумы снова функционируют.
21 декабря 2004
Видимо в связи с обнаруженными дырами в phpBB, форум был взломан, а через него взломано и всё остальное содержимое ceemat.ru. Всё кроме форума восстановлено, ведется дискуссия по поводу его сохранения.
Приносим извинения за неудобства.
29 сентября 2004
Форум обновился до версии 2.0.10
15 мая 2004
Новый раздел: "Программирование"
16 апреля 2004 года
Задачи Ярославского турнира математических боев — 124 задачи с решениями.
29 марта 2004
Таллинская викторина: занимательные вопросы и задачи для увлеченных химией.
1. Углы, опирающиеся на равные дуги (13)
Задача 2.12 Многоугольник A1A2… A2n вписанный. Про все пары его противоположных сторон, кроме одной, известно, что они параллельны. Докажите, что при n нечетном оставшаяся пара сторон тоже параллельна, а при n четном оставшаяся пара сторон равна по длине. |
Доказательство проведем индукцией по n. Для
четырехугольника утверждение очевидно, для шестиугольника оно было
доказано в предыдущей задаче. Допустим, что утверждение доказано для
2(n – 1)-угольника, и докажем его для 2n-угольника. Пусть A1…A2n есть 2n-угольник, в котором A1A2 || An + 1An + 2,…,An – 1An || A2n – 1A2n. Рассмотрим
2(n – 1)-угольник A1A2… An – 1An + 1… A2n – 1. По
предположению индукции при нечетном n
получаем An – 1An + 1 = A2n – 1A1, при четном n
получаем An – 1An + 1 || A2n – 1A1.
Рассмотрим треугольник An – 1AnAn + 1 и
треугольник A2n – 1A2nA1. Пусть n четно. Тогда
векторы
 и  ,
 и 
параллельны и противоположно направлены, поэтому РAnAn – 1An + 1 = РA1A2n – 1A2n и AnAn + 1 = A2nA1 как хорды, отсекающие равные дуги, что и требовалось. Пусть n нечетно. Тогда An – 1An + 1 = A2n – 1A1, т. е. A1An – 1 || An + 1A2n – 1. В шестиугольнике An – 1AnAn + 1A2n – 1A2nA1 имеем A1An – 1 || An + 1A2n – 1,An – 1An || A2n – 1A2n, поэтому согласно предыдущей задаче AnAn + 1 || A2nA1, что и требовалось. |
15 Января 2004 23:39 Раздел каталога :: Ссылка на задачу
|