358
471
всего разделов:
активных пользователей:
30 мартра 2005
Форумы снова функционируют.
21 декабря 2004
Видимо в связи с обнаруженными дырами в phpBB, форум был взломан, а через него взломано и всё остальное содержимое ceemat.ru. Всё кроме форума восстановлено, ведется дискуссия по поводу его сохранения.
Приносим извинения за неудобства.
29 сентября 2004
Форум обновился до версии 2.0.10
15 мая 2004
Новый раздел: "Программирование"
16 апреля 2004 года
Задачи Ярославского турнира математических боев — 124 задачи с решениями.
29 марта 2004
Таллинская викторина: занимательные вопросы и задачи для увлеченных химией.
1. Углы, опирающиеся на равные дуги (13)
Задача 2.13 Дан треугольник ABC. Докажите, что существует два семейства правильных треугольников, стороны которых (или их продолжения) проходят через точки A,B и C. Докажите также, что центры треугольников этих семейств лежат на двух концентрических окружностях. |
| Пусть прямые FG,GE и EF проходят через точки A,B
и C, причем треугольник EFG равносторонний, т. е.
Р(GE,EF) = Р(EF,FG) = Р(FG,GE) = ±60°. Тогда Р(BE,EC) = Р(CF,FA) = Р(AG,GB) = ±60°. Выбрав один из знаков, получим три окружности SE,SF и SG, на которых должны лежать точки E,F и G. Любая точка E окружности SE однозначно определяет треугольник EFG. Пусть O — центр треугольника EFG; P,R и Q- точки пересечения прямых OE,OF и OG с соответствующими окружностями SE,SF и SG. Докажем, что P,Q и R — центры правильных треугольников, построенных на сторонах треугольника ABC (для одного семейства внешним образом, для другого внутренним), а точка O лежит на описанной окружности треугольника PQR. Ясно, что Р(CB,BP) = Р(CE,EP) = Р(EF,EO) = -±30°, a Р(BP,CP) = Р(BE,EC) = Р(GE,EF) = ±60°. Поэтому Р(CB,CP) = Р(CB,BP) + Р(BP,CP) = ±30°. Следовательно, P — центр правильного треугольника со стороной AB. Для точек Q и R доказательство аналогично. Треугольник PQR равносторонний, причем его центр совпадает с точкой пересечения медиан треугольника ABC (см. задачу 1.50, б)). Можно проверить, что Р(PR,RQ) = -±60° = Р(OE,OG) = Р(OP,OQ), т. е. точка O лежит на описанной окружности треугольника PQR. |
15 Января 2004 23:55 Раздел каталога :: Ссылка на задачу
|