Второй тур боев (10)

1.

Найти x + y, если x³ + y³ = 9, x²y + xy² = 6.

2.

В клетки таблицы 3 ´ 3 записывают числа 1 или –1. Затем число в каждой клетке заменяется на произведение чисел, стоящих во всех соседних клетках. Докажите, что после нескольких повторений этой операции во всех клетках таблицы будут стоять единицы.

3.

На доске в ряд выписано несколько натуральных чисел. Второе число на 1 больше первого, третье на 3 больше второго, четвертое на 5 больше третьего и так далее. Какое наименьшее значение может принимать первое число ряда, если в нем встречается число 1997?

4.

Какое наименьшее число фишек нужно расставить
a) на доске 8 ´ 8;
b) на доске 9 ´ 9
для того, чтобы на каждой прямой, проходящей через центр произвольного поля и параллельной какой-либо стороне или диагонали доски, стояла хотя бы одна фишка? (Фишки ставятся в центр полей.)

5.

На рисунке даны оси координат и три графика линейных функций y = a₁x + b₁, y = a₂x + b₂, y = a₃x + b₃ (на координатных осях заданы направления и единичные отрезки). С помощью циркуля и линейки построить отрезок длины ½a₁ + a₂ + a₃½.

6.

Можно ли доску 5 ´ 9 разрезать на 15 уголков, состоящих из трех клеток?

7.

Сколькими способами на доске, изображенной на рисунке, можно отметить 6 клеток, расположенных в форме фигуры (фигуру можно поворачивать)?

8.

Докажите, что если в четырехугольники отрезки, соединяющие середины противоположных сторон перпендикулярны, то его диагонали равны.

9.

Какое из чисел больше: 3²⁰³ + 2³⁰³ или 3²⁰¹ + 2³⁰⁵?

10.

Выписали все натуральные числа, в любом из которых каждая цифра больше цифры, стоящей правее ее. Сколько среди этих чисел делящихся на 11?