Вариант боев 4 (10)

1.

На турнир съехалось 105 школьников. Оказалось, что среди любых пятнадцати есть школьники, знакомые между собой. Кроме того, любые два школьника, имеющие одинаковое количество знакомых среди участников турнира — не знакомы между собой, а имеющие разное количество знакомых — знакомы между собой. Докажите, что среди участников найдется школьник, знакомый со всеми остальными.

2.

Биссектрисы АА₁, ВВ₁, СС₁ остроугольного треугольника АВС пересекаются в точке О. Докажите, что из отрезков ОА₁, ОВ₁, ОС₁ можно составить остроугольный треугольник.

3.

На шахматной доске, первоначально пустой, расставляются пешки по следующим правилам: выбираются любые четыре пустые клетки, центры которых являются вершинами квадрата со сторонами, параллельными сторонам доски, после чего на одну из этих клеток ставится пешка. Затем выбираются аналогичные четыре пустые клетки, на них снова ставится пешка, и так далее. Какое наибольшее число пешек можно расставить на доске, соблюдая эти правила?

4.

Палиндромом называется натуральное число, которое не изменится, если его цифры записать в обратном порядке. Докажите, что для любого простого р > 150 существует палиндром, делящийся на р и содержащий не более 0,23р цифр.

5.

В трапеции ABCD основание BC вдвое меньше AD; DD₁ — перпендикуляр, опущенный на прямую AB. Докажите, что если окружность, описанная около треугольника BCD₁, касается стороны AD, то трапеция — равнобокая.

6.

Степану Фомичу 23 февраля 2001 года выдали премию: 250 рублей 00 копеек. Он решил, используя эти деньги, заработать больше и купить жене подарок. Для этого, начиная со следующего дня, он стал ежедневно посещать казино, где каждый день либо выигрывал 20 рублей, либо проигрывал ровно половину имеющихся у него денег. Подсчитав свои доходы накануне 8 марта, Степан Фомич выяснил, что остался в выигрыше, но барыш оказался невелик — меньше трех рублей. Сколько именно?

7.

Найдите все пары простых чисел (p, q) при которых уравнение

x⁴ + (q – 2)x = p – 4

имеет, по крайней мере, один целый корень.

8.

В однокруговом хоккейном турнире все команды набрали разное число очков. (В хоккее за победу дается 2 очка, за ничью 1 очко и за поражение 0 очков.) Оказалось, что команда, занявшая последнее место, выиграла не менее 25% своих матчей, а команда, занявшая второе место, выиграла не более 40% своих матчей. Какое наибольшее количество команд могло участвовать в этом турнире?

9.

Какое наибольшее количество королей можно расставить на шахматной доске так, чтобы ровно половина из них не угрожала никому из остальных?

10.

На гипотенузе AB прямоугольного треугольника ABC выбраны точки E и F (точка E расположена между точками A и F) такие, что треугольник CEF — равносторонний; точка D — середина гипотенузы. Докажите, что ÐDCF = 2 × ÐACE.