Первая лига (8)

1.

Имеется 2002 точки, никакие три из которых не лежат на одной прямой. Каждая пара точек соединена отрезком. Можно ли окрасить каждый отрезок в один из шести заданных цветов так, чтобы не оказалось ни одного треугольника, все стороны которого имеют одинаковые цвета?

2.

Было 1000 фигур — кругов и квадратов. Взяли половину кругов и седьмую часть квадратов, и каждый из них разрезали на 4 равные части. В результате кругов стало вдвое больше, чем квадратов. Сколько именно?

3.

В восьми банках сидят 80 пауков. Разрешается выбрать любые две банки, в которых суммарное число пауков четное, и пересадить часть пауков из одной банки в другую так, чтобы их стало поровну. Верно ли, что независимо от начального размещения пауков такими операциями можно добиться того, чтобы в банках оказалось поровну пауков?

4.

В выпуклом четырехугольнике ABCD в треугольник ABD вписана окружность с центром О₁, в треугольник BСD — окружность с центром О₂, в треугольник АСD — окружность с центром О₃, в треугольник АВС — окружность с центром О₄. Опущены перпендикуляры О₁K и О₂L на диагональ BD, а также перпендикуляры О₃N и О₄M на диагональ AC. Докажите, что KL = MN.

5.

Число A имеет B делителей, а число B имеет A / 3 делителей. Сколько делителей у числа A + B?

6.

Клетки квадрата 11 ´ 11 раскрашены в белый и черный цвета. У каждой клетки соседей одного с ней цвета меньше, чем соседей противоположного цвета (соседними считаются клетки, имеющие общую сторону). Каково наибольшее возможное количество белых клеток?

7.

Хоккейный чемпионат проводится по следующим правилам. Каждая команда играет с каждой из остальных ровно один раз. За победу дается 2 очка, за ничью — 1, за поражение — 0. Если по итогам чемпионата две команды набрали одинаковое число очков, более высокое место достается команде, у которой больше разница между числом забитых и пропущенных шайб. В результате: чемпион набрал 7 очков, серебряный призер — 5, бронзовый — 3. Сколько очков набрала команда, занявшая последнее место?

8.

В прямоугольнике выбрана произвольная точка (внутри или на границе) и соединена отрезками с вершинами прямоугольника. Докажите, что из этих четырех отрезков найдутся три, из которых можно составить треугольник.