358
471
всего разделов:
активных пользователей:
30 мартра 2005
Форумы снова функционируют.
21 декабря 2004
Видимо в связи с обнаруженными дырами в phpBB, форум был взломан, а через него взломано и всё остальное содержимое ceemat.ru. Всё кроме форума восстановлено, ведется дискуссия по поводу его сохранения.
Приносим извинения за неудобства.
29 сентября 2004
Форум обновился до версии 2.0.10
15 мая 2004
Новый раздел: "Программирование"
16 апреля 2004 года
Задачи Ярославского турнира математических боев — 124 задачи с решениями.
29 марта 2004
Таллинская викторина: занимательные вопросы и задачи для увлеченных химией.
Первая лига (8)
Клетки квадрата 11 ´ 11 раскрашены в белый и черный цвета. У каждой клетки соседей одного с ней цвета меньше, чем соседей противоположного цвета (соседними считаются клетки, имеющие общую сторону). Каково наибольшее возможное количество белых клеток? |
Ответ: 63 белые клетки. Если любые две соседние клетки разного цвета, то раскраска доски шахматная. При этом наибольшее число белых клеток равно 61. Рассмотрим случай, когда имеются две соседние по горизонтали клетки одного цвета (дубль). Тогда клетки, соседние с клетками этой пары, одного цвета. Значит, под этим дублем и под ним стоят дубли другого цвета. Повторяя рассуждения, делам вывод, что цвет клеток в каждом из двух столбцов, в которых стоят дубли, чередуется. Из этого следует, что если имеется дубль из двух соседних по горизонтали клеток, то нет дубля из двух соседних по вертикали клеток. То есть любые две соседние по вертикали клетки разного цвета, а значит, в каждом столбце цвета клеток чередуются. Назовем столбец белым, если в нем больше белых клеток (в нем 6 белых и 5 черных клеток), и черным иначе (в нем 5 белых и 6 черных клеток). Никакие три белых столбца не могут идти подряд, иначе в какой-то горизонтали будут идти подряд три белые клетки, средняя из них будет нарушать условие задачи.
|
Автор: Е. Барабанов. |
28 Февраля 2004 22:32 Раздел каталога :: Ссылка на задачу
|
Разобьем столбцы на три тройки подряд идущих. В каждой из них имеется четный столбец. Значит, количество белых столбцов не более 11 – 3 = 8. То есть количество белых клеток не превышает 8 × 6 + 3 × 5 = 63. Такая ситуация возможна (показана на рисунке).