Первая лига (8)

1.

Имеется 2002 точки, никакие три из которых не лежат на одной прямой. Каждая пара точек соединена отрезком. Можно ли окрасить каждый отрезок в один из шести заданных цветов так, чтобы не оказалось ни одного треугольника, все стороны которого имеют одинаковые цвета?

2.

Было 1000 фигур — кругов и квадратов. Взяли половину кругов и седьмую часть квадратов, и каждый из них разрезали на 4 равные части. В результате кругов стало вдвое больше, чем квадратов. Сколько именно?

3.

В восьми банках сидят 80 пауков. Разрешается выбрать любые две банки, в которых суммарное число пауков четное, и пересадить часть пауков из одной банки в другую так, чтобы их стало поровну. Верно ли, что независимо от начального размещения пауков такими операциями можно добиться того, чтобы в банках оказалось поровну пауков?

4.

В выпуклом четырехугольнике ABCD в треугольник ABD вписана окружность с центром О₁, в треугольник BСD — окружность с центром О₂, в треугольник АСD — окружность с центром О₃, в треугольник АВС — окружность с центром О₄. Опущены перпендикуляры О₁K и О₂L на диагональ BD, а также перпендикуляры О₃N и О₄M на диагональ AC. Докажите, что KL = MN.

5.

Число A имеет B делителей, а число B имеет A / 3 делителей. Сколько делителей у числа A + B?