Высшая лига и лига 9 классов (8)

1.

Дана замкнутая несамопересекающаяся ломаная с вершинами на ребрах единичного куба. На каждой грани все звенья параллельны между собой.

а) Может ли в этой ломаной быть не менее 12 звеньев?

б) Может ли длина ломаной быть больше 100?

2.

В квадрате ABCD (показан на рисунке) отрезки EG и FH перпендикулярны. Докажите, что сумма радиусов окружностей, вписанных в окрашенные треугольники, равна сумме радиусов окружностей, вписанных в неокрашенные.

3.

В каждой клетке прямоугольной доски 26 ´ 77 стоит по фишке.
Докажите, что все фишки можно переставить во второй прямоугольник 22 ´ 91 так, чтобы соседями (по стороне) оказались только те фишки, которые ранее стояли на одной вертикали или горизонтали.

4.

В некотором государстве 2002 города, и из каждого выходят 5 дорог в другие города. Докажите, что города можно так разделить на три республики, что не более 1000 дорог будут внутриреспубликанскими.

5.

Окружность разбита 31 точкой на равные дуги, причем 16 из этих точек — красные. Докажите, что найдется равнобедренный треугольник с красными вершинами.

6.

Верно ли, что всякое натуральное число можно представить как разность двух палиндромов? (Палиндромы — это числа, не меняющееся при прочтении справа налево, например, 0, 717, 2002).

7.

Дно коробки 5 ´ 5 выложено квадратными плитками 1 ´ 1, на каждой из которых стоит одна из стрелок ®, ¬, ­ или ¯. За один ход разрешается, выбрав любые две плитки, повернуть одну из них на 90° по часовой, а другую — на 90° против часовой стрелки. Можно ли за несколько ходов придать всем стрелкам направление, противоположное первоначальному?

8.

Известно, что уравнения x² + p = n²y² и u² + p² = n²v², где p — простое, имеют решения в натуральных числах x, y, u, v. Чему равно натуральное число n?