358
473
всего разделов:
активных пользователей:
30 мартра 2005
Форумы снова функционируют.
21 декабря 2004
Видимо в связи с обнаруженными дырами в phpBB, форум был взломан, а через него взломано и всё остальное содержимое ceemat.ru. Всё кроме форума восстановлено, ведется дискуссия по поводу его сохранения.
Приносим извинения за неудобства.
29 сентября 2004
Форум обновился до версии 2.0.10
15 мая 2004
Новый раздел: "Программирование"
16 апреля 2004 года
Задачи Ярославского турнира математических боев — 124 задачи с решениями.
29 марта 2004
Таллинская викторина: занимательные вопросы и задачи для увлеченных химией.
Высшая лига и лига 9 классов (8)
Окружность разбита 31 точкой на равные дуги, причем 16 из этих точек — красные. Докажите, что найдется равнобедренный треугольник с красными вершинами. |
Рассмотрим некоторую красную точку A. Разобьем остальные 30 точек на 15 пар: в одну пару попадут точки, находящиеся на равных расстояниях от точки A. Если обе точки какой-то пары красные, то вместе с точкой A они образуют равнобедренный треугольник.
Если точка R2 — красная, то треугольник АR1R2 — равнобедренный. Иначе во второй паре красной является точка L2. Если точка L4 — красная, то треугольник AL2L4 — равнобедренный. Иначе в четвертой паре красной является точка R4. Но тогда красные точки L2, R1 и R4 образуют равнобедренный треугольник (этот случай показан на рисунке 1, здесь красные точки закрашены). |
Автор: В. Произволов. |
27 Февраля 2004 21:13 Раздел каталога :: Ссылка на задачу
|
Иначе в каждой паре ровно одна точка является красной. Рассмотрим четыре ближайшие к точке A пары (схематически ситуация показана на рисунке). Без ограничения общности можно предположить, что точка R1 — красная (тогда точка L1 красной не является).