Командная олимпиада (8)

1.

У завхоза Васи было трое одинаковых чашечных весов. В одних потерялась часть деталей, и теперь они могут показывать что угодно. Любые весы помещаются на одну чашу других весов.

За какое наименьшее количество взвешиваний можно определить неисправные весы?

2.

Длины сторон AB и BC треугольника ABC равны 1 и 2 соответственно, ÐABC = 120°. Докажите, что медиана BD перпендикулярна стороне AB.

3.

Двое начинающих играют в крестики-нолики на доске 10 ´ 10. Выигрывает тот, кто поставит три своих значка подряд по вертикали, горизонтали или диагонали. Может ли игра закончиться вничью?

4.

На параде кавалеры ордена Славы выстроились в виде каре 7 ´ 7. У каждого — один, два или три ордена. Дотошные пионеры посчитали число орденов в каждой шеренге, колонне и диагонали из 7 человек. Докажите, что какие-то два из этих чисел совпадают.

5.

На плоскости отметили 8 точек. Каждую пару точек соединили отрезком, затем к каждому такому отрезку построили серединный перпендикуляр. Могло ли на каждом из этих перпендикуляров оказаться ровно по две отмеченные точки?

6.

Найдите все такие тройки простых чисел, что произведение любых двух из них при делении на третье дает остаток 1.

7.

По четырем одинаковым окружностям с центрами в вершинах квадрата (показано на рисунке) с постоянными равными скоростями бегают спортсмены, не переходя с окружности на окружность. Из любых трех спортсменов хотя бы двое иногда встречаются.
Каково наибольшее возможное число спортсменов?
(Спортсмены встречаются, если они бегут по одной окружности в противоположных направлениях или если они бегут по разным окружностям, но одновременно оказываются в точке касания окружностей.)

8.

Решите систему уравнений: , , .