1863
358
470
всего задач:
всего разделов:
активных пользователей:
  Login: (регистрация)
  Пароль:
    

30 мартра 2005

Форумы снова функционируют.

21 декабря 2004

Видимо в связи с обнаруженными дырами в phpBB, форум был взломан, а через него взломано и всё остальное содержимое ceemat.ru. Всё кроме форума восстановлено, ведется дискуссия по поводу его сохранения.
Приносим извинения за неудобства.

29 сентября 2004

Форум обновился до версии 2.0.10

15 мая 2004

Новый раздел: "Программирование"

16 апреля 2004 года

Задачи Ярославского турнира математических боев — 124 задачи с решениями.

29 марта 2004

Таллинская викторина: занимательные вопросы и задачи для увлеченных химией.

Rambler's Top100

Костромской ЦДООШ СУНЦ МГУ - Школа им. А. Н. Колмогорова.\r\nОфициальный сайт

Командная олимпиада (8)

По четырем одинаковым окружностям с центрами в вершинах квадрата (показано на рисунке) с постоянными равными скоростями бегают спортсмены, не переходя с окружности на окружность. Из любых трех спортсменов хотя бы двое иногда встречаются.
Каково наибольшее возможное число спортсменов?
(Спортсмены встречаются, если они бегут по одной окружности в противоположных направлениях или если они бегут по разным окружностям, но одновременно оказываются в точке касания окружностей.)

Ответ: 8 спортсменов.

Предположим, что бегунов не менее девяти. Тогда найдется пара противоположных кругов, по которым движутся не менее пяти бегунов. Если все пятеро бегунов на одном круге, то трое из них бегут по нему в одинаковом направлении и не встречаются. Если же 5 бегунов распределены по обоим кругам, то на одном из них не менее трех бегунов, а значит, есть двое, бегущих в одном направлении; добавим к ним любого бегуна с противоположного круга и получим трех бегунов, которые никогда не встречаются.

С другой стороны, возможно движение восьми бегунов, удовлетворяющее условию задачи. В точке касания двух кругов A стартуют четыре бегуна, по два на каждом круге, в противоположных направлениях. Назовем этих четверых бегунов "внутренними". На этих же кругах стартуют еще по два бегуна в точках, диаметрально противоположных A, бегут они также в разные стороны. Эти бегуны "внешние", и через некоторое время "внутренние" и "внешние" бегуны поменяются местами. Два круга при этом пустуют. Тогда среди любых трех бегунов найдутся либо два "внутренних", либо два "внешних". Эти двое будут встречаться.

Автор: А. Чеботарев.

 25 Февраля 2004     22:32 
Раздел каталога :: Ссылка на задачу