Весна 2003 года (25)

1.

Коля, Боря, Вова и Юра заняли первые четыре места в соревновании. На вопрос, какие места они заняли, трое из ребят ответили:
Коля — ни первое, ни четвертое;
Боря — второе;
Вова не был последним.

Какое место занял каждый мальчик?

2.

Петя тратит 1/3 часть своего времени на занятия в школе, 1/4 – на игру в футбол, 1/5 – на прослушивание музыки, 1/6 – на телевизор, 1/7 – на решение задач по математике. Можно ли так жить?

3.

Бутылка самого чистого в мире кефира стоит 10 долларов, причем кефир на 9 долларов дороже бутылки. Сколько стоит пустая бутылка?

4.

При каких значения a число делится на 6?

5.

Можно ли расставить целые числа от 1 до 22 в ряд так, чтобы сумма любых двух рядом стоящих чисел была простым числом?

6.

Поставьте на шахматную доску 8 ферзей так, чтобы они не били друг друга. (Ферзь ходит на любое количество клеток по горизонтали, вертикали или диагонали.)

7.

В одной урне лежали 2 белых шара, в другой – 2 черных, в третьей – один белый и один черный. На каждой урне висела табличка, указывающая ее содержимое: ББ, ЧЧ, БЧ. Шутник перевесил таблички так, что теперь все надписи неверны. Как, вынув один шар, определить, что где находится?

8.

Бак был полон воды. Эту воду поровну перелили в три бидона. Оказалось, что в первом бидоне вода заняла половину его объема, во втором бидоне вода заняла 2/3 его объема, а в третьем – 3/4. Бак и все три бидона вмещают по целому числу литров. При каком минимальном объеме бака возможна такая ситуация?

9.

Незнайка разрезал фигуру на трёхклеточные и четырёхклеточные уголки, нарисованные справа от неё.
Сколько трёхклеточных уголков могло получиться?
Найдите все варианты.

10.

В корзине лежат 30 грибов — рыжиков и груздей. Известно, что среди любых 12 грибов имеется хотя бы один рыжик, а среди любых 20 грибов — хотя бы один груздь. Сколько рыжиков и сколько груздей в корзине?

11.

Художник-авангардист Змий Клеточкин покрасил несколько клеток доски размером 7 × 7, соблюдая правило: каждая следующая закрашиваемая клетка должна соседствовать по стороне с предыдущей закрашенной клеткой, но не должна соседствовать ни с одной другой ранее закрашенной клеткой. Ему удалось покрасить 31 клетку. Побейте его рекорд – закрасьте:
а) 32 клетки;
б) 33 клетки.

12.

Мама положила на стол сливы и сказала детям, чтобы они, вернувшись из школы, разделили их поровну. Первой пришла Аня, взяла треть слив и ушла. Потом вернулся из школы Боря, взял треть оставшихся слив и ушел. Затем пришел Витя и взял 4 сливы – треть от числа слив, которые он увидел. Сколько слив оставила мама?

13.

В написанном на доске примере на умножение хулиган Петя исправил две цифры.
Получилось 4 · 5 · 4 · 5 · 4 = 2247.
Восстановите исходный пример и объясните, как Вы это сделали.

14.

Шифр кодового замка является двузначным числом. Буратино забыл код, но помнит, что сумма цифр этого числа, сложенная с их произведением, равна самому числу. Напишите все возможные варианты кода, чтобы Буратино смог быстрее открыть замок.

15.

Найдите все решения ребуса, в котором одинаковые буквы соответствуют одинаковым цифрам, а разные – разным:

16.

Может ли сумма нескольких последовательных натуральных чисел равняться 1000?

17.

Когда у больного удалили зуб, в его верхней челюсти оказалось в 4 раза больше зубов, чем их было в нижней челюсти в прошлом году. Сколько зубов осталось у пациента после операции, если до нее в верхней челюсти было в 5 раз больше зубов, чем в нижней?

18.

Разрезав фигуру, изображенную на рисунке, на две части, сложите из них квадрат так, чтобы цветные квадратики были симметричны относительно всех осей симметрии квадрата (квадрат имеет 4 оси симметрии).

19.

Какое наибольшее количество месяцев одного года может иметь по 5 пятниц?

20.

Последовательность чисел строится так: на первом месте стоит 7, далее за каждым числом стоит сумма цифр его квадрата, увеличенная на 1: 7, 14, 17, … Какое число стоит на 1995-ом месте?

21.

Имеются три числа a, b и c, причем произведение любых двух из них равно третьему. Каковы могут быть эти числа? (Укажите все варианты. Не забудьте про отрицательные числа и ноль.)

22.

Двое по очереди ломают шоколадку 6 × 8. За один ход разрешается сделать прямолинейный разлом любого из кусков вдоль углубления. Проигрывает тот, кто не сможет сделать ход. Кто выиграет: начинающий или противник?

23.

Трехзначное число А сложили с числом, записанным теми же цифрами, но в обратном порядке. В результате получили число, одинаково читаемое и слева направо и справа налево. Найдите всевозможные значения А.

24.

Как-то раз четыре товарища (Петя, Боря, Алеша и Коля) пошли со своими сестрами на школьный бал. Во время первого танца каждый из них танцевал не со своей сестрой. Лена танцевала с Петей, а Света – с братом Наташи, Оля – с братом Светы, Боря – с сестрой Алеши, Алеша – с сестрой Пети. Кто чей брат и кто с кем танцевал? (Не забудьте объяснить, как вы нашли ответ.)

25.

Найти сумму всех пятизначных чисел, в записи которых используются только цифры 2, 3, 5, 7 (цифры в числе могут повторяться).