Осень 2002 года (25)

1.

В распоряжении Кости имеются три банки емкостью 3, 5 и 10 литров. Самая большая банка полностью наполнена водой. Он может переливать воду из одной банки в другую банку следующим образом:
- если воды в банке, из которой он выливает воду, больше, чем может уместиться в банке, куда переливается вода, то та банка наполняется до краев, а остаток воды остается в первой банке;
- если воды в банке, из которой он выливает воду, меньше, чем может уместиться в банке, куда переливается вода, то вода полностью переливается в ту банку.

Как Косте отлить из десятилитровой банки в другие банки ровно 4 литра воды?

2.

На новогодней распродаже марок в филателистическом магазине любая почтовая марка стоила 1 рубль. При этом к каждым десяти купленным маркам одна давалась бесплатно, а за каждую сотню оплаченных марок еще дарили 5 марок. Заплатив все свои деньги за марки в этом магазине, Денис получил 200 марок. Сколько у него было денег? Ответ пояснить.

3.

На дне рождения у Васи каждый мальчик (и Вася тоже!) съел по 4 пирожных и по 3 кекса, а каждая девочка – по одному пирожному и 2 кекса. Оказалось, что число съеденных детьми пирожных равно числу съеденных ими кексов. Кого из гостей было больше на дне рождения у Васи, мальчиков или девочек, и на сколько? Ответ пояснить.

4.

Автомат имеет две операции “+5” и “+7”. Сколько различных натуральных чисел можно получить из 1 ровно за 100 операций? Ответ пояснить.

5.

Можно ли используя только цифры 7, 8, 9 записать три числа, одно из которых равно произведению двух других? Если можно, приведите пример, в противном случае поясните, почему нельзя.

6.

Капитан Врунгель утверждает, что сможет разложить 120 алмазов в отсеки коробки 3 ´ 5 так, чтобы во всех лежало различное число алмазов, а в любых двух соседних (через перегородку) было вместе не более 17 алмазов. Прав ли капитан? (Если прав – приведите пример расположения алмазов, иначе объясните, почему не прав.)

7.

У числа можно любую нечетную цифру переставлять в конец (записывать ее справа от него), а любую четную цифру переставлять в начало (записывать ее слева от него). Какое наименьшее число можно получить из числа 391728 такими перестановками? Ответ обоснуйте (то есть докажите, что меньшее число получить нельзя).

8.

Бумажный квадрат со стороной 5 см, разрезали на 6 прямоугольников (квадрат также является прямоугольником), с целочисленными периметрами (но не обязательно с целочисленными сторонами). Может ли быть сумма длин их периметров равной 50 см?

Целочисленный периметр – это периметр, выраженный целым числом сантиметров.

9.

Сколько существует четырехзначных чисел, у которых сумма цифр равна 34?

10.

Вчера на базаре Федя купил несколько воздушных шариков – красные по 7 рублей за штуку, а синие по 2 рубля за штуку. Придя сегодня на базар, он обнаружил, что цены шариков поменялись местами: красные стали стоить 2 рубля, а синие 7 рублей. Увидев такое, Федя сказал с досадой: “Покупай я те же шарики сегодня, сэкономил бы 27 рублей”. Докажите, что Федя не прав.