Вторая лига (8)

1.

Целые числа х, у, z таковы, что xy + yz + xz = 1. Докажите, что число (1 + x²)(1 + y²)(1 + z²) является полным квадратом.

2.

В треугольнике АВС точка M — середина отрезка ВС, точка N — середина отрезка АС, точка K — середина отрезка AN. Отрезки ВN и МК пересекаются в точке О, причем ÐВОМ = ÐОКN.

Докажите равенство AC = BN.

3.

Прямоугольники ABCD и KLMN имеют соответственно параллельные стороны и расположены, как показано на рисунке.

Докажите равенство площадей четырехугольников ALCN и KBMD.

4.

Архипелаг состоит из 7 островов вблизи материка. С каждого острова выходят три моста. Между любыми двумя островами, а также между каждым островом и материком имеется не более одного моста. Из острова Чунга на остров Чанга переехать нельзя. Сколько мостов связывают острова архипелага с материком?

5.

В выпуклом 12-угольнике все углы кратны 30 градусам. Докажите, что все углы этого многоугольника равны.

6.

Доминошки выкладывают в цепь по следующему правилу: сумма очков на соприкасающихся половинках должна делиться на 8. Какое наибольшее число доминошек может быть в такой цепи?

7.

В серии товарищеских матчей по футболу играют n команд. (Любые две команды встретятся друг с другом ровно по одному разу.) При этом каждая команда в своей k-ой игре забивает k мячей. Составьте расписание так, чтобы как можно меньше игр закончилось вничью.

8.

Положительные числа a, b, c таковы, что a < b < c.

Какая из сумм, указанных ниже, ближе к единице: или ?