Высшая лига и лига 9 классов (8)

1.

Целые числа х, у, z таковы, что xy + yz + xz = 1. Докажите, что число (1 + x²)(1 + y²)(1 + z²) является полным квадратом.

2.

Можно ли пятиконечную звездочку разрезать на три выпуклых многоугольника?

3.

Прямоугольники ABCD и KLMN имеют соответственно параллельные стороны и расположены, как показано на рисунке.

Докажите равенство площадей четырехугольников ALCN и KBMD.

4.

Повар выложил на сковородку восемь котлет по кругу (по часовой стрелке), причем каждая следующая выкладываемая котлета была на 10 граммов тяжелее предыдущей. Когда котлеты поджарились, повар обнаружил, что забыл, с какой котлеты он начинал выкладывать. Помогите ему найти самую тяжелую котлету за два взвешивания на чашечных весах без гирь.

5.

Точку A симметрично отразили относительно четырех прямых. При этом оказалось, что ее образы попали на некоторую окружность с центром O. Затем точку О симметрично отразили относительно тех же прямых. Докажите, что образы точки O принадлежат одной окружности.

6.

Какое наибольшее число клеток шахматной доски можно отметить так, чтобы центры никаких четырех отмеченные клетки не были вершинами прямоугольника со сторонами, параллельными краям доски?

7.

В серии товарищеских матчей по футболу играют n команд. (Любые две команды встретятся друг с другом ровно по одному разу.) При этом каждая команда в своей k-ой игре забивает k мячей. Составьте расписание так, чтобы как можно меньше игр закончилось вничью.

8.

Докажите, что первые n натуральных чисел, где n > 10, можно разбить на два множества таким образом, что произведение чисел первого множества равнялось сумме чисел второго множества.