Личная олимпиада (7)

1.

В примере

1 * 2 * 3 * 4 * 5 * 6 = …

знаки “*” означают “+” или “–”. За один ход Гриша выбирает пару знаков, разделенных цифрой, и меняет их на противоположные.

Докажите, что он сможет сделать ответ кратным 7.

2.

Можно ли из бумажного прямоугольника 2 ´ 5 сложить двухслойную коробку размером 1 ´ 1 ´ 1 без крышки?
(Прямоугольник разрешается гнуть и надрезать по линиям сетки, но не разрезать на отдельные куски.)

3.

Равносторонний треугольник разрезан на равносторонние треугольники, периметр каждого из которых — целое число. Докажите, что периметр исходного треугольника — целое число.

4.

Действительные числа а и b таковы, что

a + b⁵ > ab⁵ + 1.

Докажите неравенство

b + a⁷ > ba⁷ + 1.

5.

На нижней горизонтали доски 2 ´  25 выстроились фишки с номерами от 1 до 25 по порядку. За один ход можно переставить одну фишку на пустую соседнюю (по горизонтали или по вертикали) клетку. За какое наименьшее число ходов удастся расставить все фишки на нижней горизонтали в обратном порядке?

6.

В треугольнике ABC угол A равен 15°, угол B равен 60°. На сторонах AC и AB взяты соответственно точки M и N такие, что AM = BM и MN = NC. Найдите угол MNC.

7.

Таня задумала целое число от 1 до 100. Саша пытается его угадать. При его удаче Таня говорит: “Угадал!” Если не угадал, то Таня число меняет: делит на Сашино, если делится нацело, иначе умножает на Сашино число и прибавляет единицу (не сообщая ему ничего). Докажите, что Саша сможет угадать число, задуманное первоначально Таней.