6. Вписанный угол и подобные треугольники (11)

1.

Задача 2.51

На окружности взяты точки A,B,C и D. Прямые AB и CD пересекаются в точке M. Докажите, что AC · AD/AM = BC · BD/BM.

2.

Задача 2.52

На окружности даны точки A,B и C, причем точка B более удалена от прямой l, касающейся окружности в точке A, чем C. Прямая AC пересекает прямую, проведенную через точку B параллельно l, в точке D. Докажите, что AB² = AC · AD.

3.

Задача 2.53

Прямая l касается окружности с диаметром AB в точке C; M и N — проекции точек A и B на прямую l, D — проекция точки C на AB. Докажите, что  CD² = AM · BN.

4.

Задача 2.54

В треугольнике ABC проведена высота AH, а из вершин B и C опущены перпендикуляры BB₁ и CC₁ на прямую, проходящую через точку A. Докажите, что DABC ~ DHB₁C₁.

5.

Задача 2.55

На дуге BC окружности, описанной около равностороннего треугольника ABC, взята произвольная точка P. Отрезки AP и BC пересекаются в точке Q. Докажите, что 1 / PQ = 1 / PB + 1 / PC.

6.

Задача 2.56

На сторонах BC и CD квадрата ABCD взяты точки E и F так, что РEAF = 45°. Отрезки AE и AF пересекают диагональ BD в точках P и Q. Докажите, что S_AEF / S_APQ = 2.

7.

Задача 2.57

Прямая, проходящая через вершину C равнобедренного треугольника ABC, пересекает основание AB в точке M, а описанную окружность в точке N. Докажите, что CM · CN = AC² и CM/CN = AM · BM / (AN · BN).

8.

Задача 2.58

Дан параллелограмм ABCD с острым углом при вершине A. На лучах AB и CB отмечены точки H и K соответственно так, что CH = BC и AK = AB. Докажите, что:

а) DH = DK;

б) DDKH ~ DABK.

9.

Задача 2.59

а) Стороны угла с вершиной C касаются окружности в точках A и B. Из точки P, лежащей на окружности, опущены перпендикуляры PA₁,PB₁ и PC₁ на прямые BC,CA и AB. Докажите, что PC₁² = PA₁ · PB₁ и PA₁ : PB₁ = PA² : PB².

б) Из произвольной точки O вписанной окружности треугольника ABC опущены перпендикуляры OAў,OBў,OCў на стороны треугольника ABC и перпендикуляры OAўў,OBўў,OCўў на стороны треугольника с вершинами в точках касания. Докажите, что OAў · OBў · OCў = OAўў · OBўў · OCўў.

10.

Задача 2.60

Пятиугольник ABCDE вписан в окружность. Расстояния от точки E до прямых AB,BC и CD равны a,b и c соответственно. Найдите расстояние от точки E до прямой AD.