М801 - М820 (20)

16.

M816

Натуральные числа a и b получаются друг из друга перестановкой цифр. Докажите, что
а) суммы цифр чисел 2a и 2b равны;
б) суммы цифр чисел a/2 и b/2 равны (если а и b четные);
в) суммы цифр чисел 5a и 5b равны.

17.

M817

Точка K лежит на стороне BС треугольника AВС. Докажите, что соотношение

AK² = AB × AC - KB × KC

выполнено тогда и только тогда, когда AB = AC или ÐBАK = ÐСАK.

18.

M818

Пусть какие-то k вершин правильного n-угольника белые (остальные вершины — черные). Будем называть множество белых вершин равномерным, если при любом m количества белых вершин в любых двух наборах из m последовательных вершин n-угольника совпадают или отличаются на 1 (см. рисунок, где приведен пример равномерного множества для n = 8, k = 5).

а) Постройте равномерные множества для n = 12, k = 5;
n = 17, k = 7.

Докажите, что равномерное множество существует и единственно (с точностью до поворотов n-угольника),

б) если n делится на k;

в)* для любых n и k (k £ n).

19.

M819

В Швамбрании n городов, каждые два из которых соединены дорогой. (Дороги сходятся лишь в городах, все пересечения организованы в разных уровнях.) Злой волшебник намеревается установить на каждой дороге одностороннее движение так, что выехав из любого города, в него уже нельзя будет вернуться. Докажите, что

а) волшебник может это сделать;

б) при этом найдется город, из которого можно добраться до всех других, и найдется город, из которого нельзя выехать;

в) существует n! = 1 × 2 × ... × n способов осуществить намерение злого волшебника.

20.

M820*

а) Правильный восьмиугольник разрезан на конечное число параллелограммов.
Докажите, что среди них есть хотя бы два прямоугольника.

б) Правильный 4k-угольник разрезан на конечное число параллелограммов.
Докажите, что среди них есть хотя бы k прямоугольников.

в) Найдите суммарную площадь прямоугольников из пункта б), если длина стороны 4k-угольника равна 1.