М801 - М820 (20)

6.

M806

a) Докажите, что если
,
то многочлен a_nxⁿ-1+a_n-1xⁿ-2+...+a₂x+a₁ имеет корень между 0 и 1.

б) Докажите, что если для некоторого p > 0
,
то этот многочлен также имеет корень между 0 и 1.

7.

M807

a) Из произвольной точки M внутри равностороннего треугольника опущены перпендикуляры MK₁, MK₂, MK₃ на его стороны.
Докажите, что сумма векторов
, где O — центр треугольника.

б) Из произвольной точки M опущены перпендикуляры MK₁, MK₂, ..., MK_n на все стороны правильного n-угольника (или их продолжения).
Докажите, что
,
где O — центр n-угольника.

в) Из произвольной точки M внутри правильного тетраэдра опущены перпендикуляры MK₁, MK₂, MK₃, MK₄ на его грани.
Докажите, что
,
где О — центр тетраэдра.

8.

M808

На бесконечном листе клетчатой бумаги двое играют в такую игру: первый окрашивает какую-нибудь клетку в красный цвет, второй — k (неокрашенных) клеток в синий цвет, затем снова первый одну (неокрашенную) — в красный, второй — k клеток — в синий и.т.д. Первый стремится к тому, чтобы четыре какие-нибудь красные клетки расположились в вершинах квадрата (со сторонами, параллельными линиям сетки).
Сможет ли второй ему помешать
а) при k = 1;
б)* при k = 2;
в)* при каком-либо k > 1?

9.

M809

Найдите сумму .

10.

M810*

Докажите, что в любой выпуклый многоугольник М можно поместить прямоугольник, площадь которого не меньше 1/4 площади многоугольника М.