1863
358
442
всего задач:
всего разделов:
активных пользователей:
  Login: (регистрация)
  Пароль:
    

30 мартра 2005

Форумы снова функционируют.

21 декабря 2004

Видимо в связи с обнаруженными дырами в phpBB, форум был взломан, а через него взломано и всё остальное содержимое ceemat.ru. Всё кроме форума восстановлено, ведется дискуссия по поводу его сохранения.
Приносим извинения за неудобства.

29 сентября 2004

Форум обновился до версии 2.0.10

15 мая 2004

Новый раздел: "Программирование"

16 апреля 2004 года

Задачи Ярославского турнира математических боев — 124 задачи с решениями.

29 марта 2004

Таллинская викторина: занимательные вопросы и задачи для увлеченных химией.

Rambler's Top100

Костромской ЦДООШ СУНЦ МГУ - Школа им. А. Н. Колмогорова.\r\nОфициальный сайт

М801 - М820 (20)

Страницы:  1  2  » 

1.

M801*

Докажите, что для любого натурального n выполнено равенство

([x] обозначает целую часть числа x).

 28 Января 2004     22:22 

2.

M802

На сторонах и треугольника AВС как на гипотенузах построены вне его прямоугольные треугольники AРВ и BQС с одинаковыми углами величины β при их общей вершине B (показано на рисунке). Найдите углы треугольника PQK, где K — середина стороны .

 28 Января 2004     22:23 

3.

M803

Сумма двух рациональных чисел x и y — натуральное число, сумма обратных к ним чисел 1/х и 1/y — тоже натуральное число. Какими могут быть x и y?

 28 Января 2004     22:24 

4.

M804

Точка O — середина оси прямого кругового цилиндра, A и B — диаметрально противоположные точки окружности нижнего основания цилиндра, С — некоторая точка окружности верхнего основания, не лежащая в плоскости OАВ. Докажите, что сумма двугранных углов трехгранного угла OАВС (с вершиной O) равна 2π.

 28 Января 2004     22:24 

5.

M805*

а) На сторонах , СА, треугольника AВС выбраны соответственно точки A1, В1, C1 так, что отрезки AA1, 1 и CC1 пересекаются в одной точке. Докажите, что SA1B1C1 £ SABC / 4.

б) На гранях BCD, CDA, BDA, ABC тетраэдра ABCD выбраны соответственно точки A1, В1, C1, D1 так, что отрезки AA1, 1, CC1, DD1, пересекаются в одной точке. Докажите, что VA1B1C1D1 £ VABCD / 27.

 28 Января 2004     22:27 

6.

M806

a) Докажите, что если
,
то многочлен anxn-1+an-1xn-2+...+a2x+a1 имеет корень между 0 и 1.

б) Докажите, что если для некоторого p > 0
,
то этот многочлен также имеет корень между 0 и 1.

 28 Января 2004     22:28 

7.

M807

a) Из произвольной точки M внутри равностороннего треугольника опущены перпендикуляры MK1, MK2, MK3 на его стороны.
Докажите, что сумма векторов
, где O — центр треугольника.

б) Из произвольной точки M опущены перпендикуляры MK1, MK2, ..., MKn на все стороны правильного n-угольника (или их продолжения).
Докажите, что
,
где O — центр n-угольника.

в) Из произвольной точки M внутри правильного тетраэдра опущены перпендикуляры MK1, MK2, MK3, MK4 на его грани.
Докажите, что
,
где О — центр тетраэдра.

 28 Января 2004     22:29 

8.

M808

На бесконечном листе клетчатой бумаги двое играют в такую игру: первый окрашивает какую-нибудь клетку в красный цвет, второй — k (неокрашенных) клеток в синий цвет, затем снова первый одну (неокрашенную) — в красный, второй — k клеток — в синий и.т.д. Первый стремится к тому, чтобы четыре какие-нибудь красные клетки расположились в вершинах квадрата (со сторонами, параллельными линиям сетки).
Сможет ли второй ему помешать
а) при k = 1;
б)* при k = 2;
в)* при каком-либо k > 1?

 28 Января 2004     22:30 

9.

M809

Найдите сумму .

 28 Января 2004     22:31 

10.

M810*

Докажите, что в любой выпуклый многоугольник М можно поместить прямоугольник, площадь которого не меньше 1/4 площади многоугольника М.

 28 Января 2004     22:32 
Задач на странице:  5  10  25