1863
358
468
всего задач:
всего разделов:
активных пользователей:
  Login: (регистрация)
  Пароль:
    

30 мартра 2005

Форумы снова функционируют.

21 декабря 2004

Видимо в связи с обнаруженными дырами в phpBB, форум был взломан, а через него взломано и всё остальное содержимое ceemat.ru. Всё кроме форума восстановлено, ведется дискуссия по поводу его сохранения.
Приносим извинения за неудобства.

29 сентября 2004

Форум обновился до версии 2.0.10

15 мая 2004

Новый раздел: "Программирование"

16 апреля 2004 года

Задачи Ярославского турнира математических боев — 124 задачи с решениями.

29 марта 2004

Таллинская викторина: занимательные вопросы и задачи для увлеченных химией.

Rambler's Top100

Костромской ЦДООШ СУНЦ МГУ - Школа им. А. Н. Колмогорова.\r\nОфициальный сайт

М801 - М820 (20)

Страницы:  1 

1.

M801*

Докажите, что для любого натурального n выполнено равенство

([x] обозначает целую часть числа x).

 28 Января 2004     22:22 

2.

M802

На сторонах и треугольника AВС как на гипотенузах построены вне его прямоугольные треугольники AРВ и BQС с одинаковыми углами величины β при их общей вершине B (показано на рисунке). Найдите углы треугольника PQK, где K — середина стороны .

 28 Января 2004     22:23 

3.

M803

Сумма двух рациональных чисел x и y — натуральное число, сумма обратных к ним чисел 1/х и 1/y — тоже натуральное число. Какими могут быть x и y?

 28 Января 2004     22:24 

4.

M804

Точка O — середина оси прямого кругового цилиндра, A и B — диаметрально противоположные точки окружности нижнего основания цилиндра, С — некоторая точка окружности верхнего основания, не лежащая в плоскости OАВ. Докажите, что сумма двугранных углов трехгранного угла OАВС (с вершиной O) равна 2π.

 28 Января 2004     22:24 

5.

M805*

а) На сторонах , СА, треугольника AВС выбраны соответственно точки A1, В1, C1 так, что отрезки AA1, 1 и CC1 пересекаются в одной точке. Докажите, что SA1B1C1 £ SABC / 4.

б) На гранях BCD, CDA, BDA, ABC тетраэдра ABCD выбраны соответственно точки A1, В1, C1, D1 так, что отрезки AA1, 1, CC1, DD1, пересекаются в одной точке. Докажите, что VA1B1C1D1 £ VABCD / 27.

 28 Января 2004     22:27 

6.

M806

a) Докажите, что если
,
то многочлен anxn-1+an-1xn-2+...+a2x+a1 имеет корень между 0 и 1.

б) Докажите, что если для некоторого p > 0
,
то этот многочлен также имеет корень между 0 и 1.

 28 Января 2004     22:28 

7.

M807

a) Из произвольной точки M внутри равностороннего треугольника опущены перпендикуляры MK1, MK2, MK3 на его стороны.
Докажите, что сумма векторов
, где O — центр треугольника.

б) Из произвольной точки M опущены перпендикуляры MK1, MK2, ..., MKn на все стороны правильного n-угольника (или их продолжения).
Докажите, что
,
где O — центр n-угольника.

в) Из произвольной точки M внутри правильного тетраэдра опущены перпендикуляры MK1, MK2, MK3, MK4 на его грани.
Докажите, что
,
где О — центр тетраэдра.

 28 Января 2004     22:29 

8.

M808

На бесконечном листе клетчатой бумаги двое играют в такую игру: первый окрашивает какую-нибудь клетку в красный цвет, второй — k (неокрашенных) клеток в синий цвет, затем снова первый одну (неокрашенную) — в красный, второй — k клеток — в синий и.т.д. Первый стремится к тому, чтобы четыре какие-нибудь красные клетки расположились в вершинах квадрата (со сторонами, параллельными линиям сетки).
Сможет ли второй ему помешать
а) при k = 1;
б)* при k = 2;
в)* при каком-либо k > 1?

 28 Января 2004     22:30 

9.

M809

Найдите сумму .

 28 Января 2004     22:31 

10.

M810*

Докажите, что в любой выпуклый многоугольник М можно поместить прямоугольник, площадь которого не меньше 1/4 площади многоугольника М.

 28 Января 2004     22:32 

11.

M811

Пусть ha, hb, hc — высоты, а ma, mb, mc — медианы остроугольного треугольника (проведенные к сторонам а, b, с), r и R радиусы вписанной и описанной окружностей.

Докажите, что

.

 28 Января 2004     22:33 

12.

M812

Докажите, что при любом натуральном n
.

 28 Января 2004     22:35 

13.

M813

Даны отрезки , OB, одинаковой длины (точка B лежит внутри угла АОС). На них как на диаметрах построены окружности.
Докажите, что площадь криволинейного треугольника, ограниченного дугами этих окружностей и не содержащего точку O (показано на рисунке), равна половине площади (обычного) треугольника ABC.

 28 Января 2004     22:36 

14.

M814

Отметим в натуральном ряду числа, которые можно представить в виде суммы двух квадратов натуральных чисел. Среди отмеченных чисел встречаются тройки последовательных чисел, например 72 = 62 + 62, 73 = 82 + 32, 74 = 72 + 52.

а) Объясните, почему не могут встретиться четыре последовательных отмеченных числа.

Докажите, что среди отмеченных чисел встретится бесконечно много

б) пар, в) троек последовательных чисел.

 28 Января 2004     22:36 

15.

M815*

На окружности расставлены 4k точек, занумерованных в произвольном порядке числами 1, 2, ..., 4k.

а) Докажите, что эти точки можно соединить 2k попарно пересекающимися отрезками так, что разность чисел в концах каждого отрезка не превосходит 3k - 1.

б) Постройте пример расстановки номеров, показывающий, что число 3k - 1 в пункте а) нельзя заменить меньшим.

 28 Января 2004     22:37 

16.

M816

Натуральные числа a и b получаются друг из друга перестановкой цифр. Докажите, что
а) суммы цифр чисел 2a и 2b равны;
б) суммы цифр чисел a/2 и b/2 равны (если а и b четные);
в) суммы цифр чисел 5a и 5b равны.

 28 Января 2004     22:38 

17.

M817

Точка K лежит на стороне треугольника AВС. Докажите, что соотношение

AK2 = AB × AC - KB × KC

выполнено тогда и только тогда, когда AB = AC или ÐBАK = ÐСАK.

 28 Января 2004     22:39 

18.

M818

Пусть какие-то k вершин правильного n-угольника белые (остальные вершины — черные). Будем называть множество белых вершин равномерным, если при любом m количества белых вершин в любых двух наборах из m последовательных вершин n-угольника совпадают или отличаются на 1 (см. рисунок, где приведен пример равномерного множества для n = 8, k = 5).

а) Постройте равномерные множества для n = 12, k = 5;
n = 17, k = 7.

Докажите, что равномерное множество существует и единственно (с точностью до поворотов n-угольника),

б) если n делится на k;

в)* для любых n и k (k £ n).

 28 Января 2004     22:40 

19.

M819

В Швамбрании n городов, каждые два из которых соединены дорогой. (Дороги сходятся лишь в городах, все пересечения организованы в разных уровнях.) Злой волшебник намеревается установить на каждой дороге одностороннее движение так, что выехав из любого города, в него уже нельзя будет вернуться. Докажите, что

а) волшебник может это сделать;

б) при этом найдется город, из которого можно добраться до всех других, и найдется город, из которого нельзя выехать;

в) существует n! = 1 × 2 × ... × n способов осуществить намерение злого волшебника.

 28 Января 2004     22:41 

20.

M820*

а) Правильный восьмиугольник разрезан на конечное число параллелограммов.
Докажите, что среди них есть хотя бы два прямоугольника.

б) Правильный 4k-угольник разрезан на конечное число параллелограммов.
Докажите, что среди них есть хотя бы k прямоугольников.

в) Найдите суммарную площадь прямоугольников из пункта б), если длина стороны 4k-угольника равна 1.

 28 Января 2004     22:42 
Задач на странице:  5  10  25