М801 - М820 (20)

11.

M811

Пусть h_a, h_b, h_c — высоты, а m_a, m_b, m_c — медианы остроугольного треугольника (проведенные к сторонам а, b, с), r и R радиусы вписанной и описанной окружностей.

Докажите, что

.

12.

M812

Докажите, что при любом натуральном n
.

13.

M813

Даны отрезки OА, OB, OС одинаковой длины (точка B лежит внутри угла АОС). На них как на диаметрах построены окружности.
Докажите, что площадь криволинейного треугольника, ограниченного дугами этих окружностей и не содержащего точку O (показано на рисунке), равна половине площади (обычного) треугольника ABC.

14.

M814

Отметим в натуральном ряду числа, которые можно представить в виде суммы двух квадратов натуральных чисел. Среди отмеченных чисел встречаются тройки последовательных чисел, например 72 = 6² + 6², 73 = 8² + 3², 74 = 7² + 5².

а) Объясните, почему не могут встретиться четыре последовательных отмеченных числа.

Докажите, что среди отмеченных чисел встретится бесконечно много

б) пар, в) троек последовательных чисел.

15.

M815*

На окружности расставлены 4k точек, занумерованных в произвольном порядке числами 1, 2, ..., 4k.

а) Докажите, что эти точки можно соединить 2k попарно пересекающимися отрезками так, что разность чисел в концах каждого отрезка не превосходит 3k - 1.

б) Постройте пример расстановки номеров, показывающий, что число 3k - 1 в пункте а) нельзя заменить меньшим.

16.

M816

Натуральные числа a и b получаются друг из друга перестановкой цифр. Докажите, что
а) суммы цифр чисел 2a и 2b равны;
б) суммы цифр чисел a/2 и b/2 равны (если а и b четные);
в) суммы цифр чисел 5a и 5b равны.

17.

M817

Точка K лежит на стороне BС треугольника AВС. Докажите, что соотношение

AK² = AB × AC - KB × KC

выполнено тогда и только тогда, когда AB = AC или ÐBАK = ÐСАK.

18.

M818

Пусть какие-то k вершин правильного n-угольника белые (остальные вершины — черные). Будем называть множество белых вершин равномерным, если при любом m количества белых вершин в любых двух наборах из m последовательных вершин n-угольника совпадают или отличаются на 1 (см. рисунок, где приведен пример равномерного множества для n = 8, k = 5).

а) Постройте равномерные множества для n = 12, k = 5;
n = 17, k = 7.

Докажите, что равномерное множество существует и единственно (с точностью до поворотов n-угольника),

б) если n делится на k;

в)* для любых n и k (k £ n).

19.

M819

В Швамбрании n городов, каждые два из которых соединены дорогой. (Дороги сходятся лишь в городах, все пересечения организованы в разных уровнях.) Злой волшебник намеревается установить на каждой дороге одностороннее движение так, что выехав из любого города, в него уже нельзя будет вернуться. Докажите, что

а) волшебник может это сделать;

б) при этом найдется город, из которого можно добраться до всех других, и найдется город, из которого нельзя выехать;

в) существует n! = 1 × 2 × ... × n способов осуществить намерение злого волшебника.

20.

M820*

а) Правильный восьмиугольник разрезан на конечное число параллелограммов.
Докажите, что среди них есть хотя бы два прямоугольника.

б) Правильный 4k-угольник разрезан на конечное число параллелограммов.
Докажите, что среди них есть хотя бы k прямоугольников.

в) Найдите суммарную площадь прямоугольников из пункта б), если длина стороны 4k-угольника равна 1.