358
471
всего разделов:
активных пользователей:
30 мартра 2005
Форумы снова функционируют.
21 декабря 2004
Видимо в связи с обнаруженными дырами в phpBB, форум был взломан, а через него взломано и всё остальное содержимое ceemat.ru. Всё кроме форума восстановлено, ведется дискуссия по поводу его сохранения.
Приносим извинения за неудобства.
29 сентября 2004
Форум обновился до версии 2.0.10
15 мая 2004
Новый раздел: "Программирование"
16 апреля 2004 года
Задачи Ярославского турнира математических боев — 124 задачи с решениями.
29 марта 2004
Таллинская викторина: занимательные вопросы и задачи для увлеченных химией.
M781 - M800 (20)
Страницы: 1 2 » | |
1. | M781 Постройте прямую, параллельную стороне АС данного треугольника ABC и пересекающую его стороны АВ и ВС в таких точках D и Е соответственно, что AD = BE. |
27 Января 2004 21:35 | |
2. | M782 Докажите, что если сумма двух натуральных чисел равна 30030, то их произведение не делится на 30030. |
27 Января 2004 21:36 | |
3. | M783 а) При каком наибольшем n система неравенств б) Для каких n существуют такие две прогрессии — арифметическая
a1, a2, a3,..., an+1
и геометрическая b1, b2, b3,..., bn, что |
27 Января 2004 21:37 | |
4. | M784 Шарообразная планета движется по окружности вокруг звезды и вращается вокруг своей оси, причем ось суточного вращения наклонена к плоскости орбиты под углом α (для нашей Земли α = 66,5°). Найдите зависимость продолжительности Т самого короткого дня в году в данном пункте на поверхности планеты от географической широты φ этого пункта. (Угловая скорость вращения планеты по орбите много меньше угловой скорости вращения планеты вокруг ее оси.) Напишите формулу для функции Т = Т(φ) и начертите примерный график. |
27 Января 2004 21:38 | |
5. | M785 a) Про возрастающую последовательность положительных чисел a(n), n = 1, 2, 3,..., известно, что для любого натурального числа k > 1 существует число bk такое, что a(kn) £ bka(n) при всех n. Докажите, что существуют положительные числа c и α, для которых a(n) £ cnα при всех n ³ 1. Останется ли верным это утверждение, если в условии б) слово «любого» заменить на «некоторого»? в) не требовать, чтобы последовательность a(n) была возрастающей? |
27 Января 2004 21:39 | |
6. | M786 Докажите, что для любых натуральных k и n (больших 1) число nk можно представить в виде суммы k последовательных нечетных чисел. (Например, 43 = 13 + 15 + 17 + 19; 72 = 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13; 34 = 25 + 27 + 29.) |
27 Января 2004 21:40 | |
7. | M787 Найдите отношение сторон прямоугольного треугольника, если известно, что одна половина гипотенузы (от вершины до середины гипотенузы) видна из центра вписанной окружности под прямым углом. |
27 Января 2004 21:41 | |
8. | M788 а) На графике y = x2 отмечены точки A(a; b2) и B(b; b2). Найдите между ними точку M(m; m2), для которой сумма площадей двух сегментов, ограниченных графиком и отрезками AM и BM, наименьшая. б) На графике дифференцируемой функции y = f(x) отмечены точки А и В. Известно, что график и отрезок АВ ограничивают выпуклую фигуру. Пусть M — точка графика, расположенная между А и B, для которой сумма площадей двух сегментов, ограниченных графиком и отрезками AM и BM, наименьшая. Докажите, что касательная к графику в точке M параллельна хорде АB. |
27 Января 2004 21:42 | |
9. | M789 а) 10 точек, делящие окружность на 10 равных дуг, попарно соединены пятью хордами. Обязательно ли среди них найдутся хорды одинаковой длины? б)* 100 точек, делящие окружность на 100 равных дуг, попарно соединены 50 хордами. Докажите, что среди них обязательно найдутся две хорды одинаковой длины. |
27 Января 2004 21:42 | |
10. | M790 а) Про числовую функцию f известно, что если
Пусть про отображение F плоскости в себя известно, что любые две точки X, Y,
находящиеся на расстоянии 1, оно переводит в две точки
Тогда для любых двух точек X, Y плоскости
б) ρ(F(X),F(Y)) £ ρ(X, Y) + 1; в)* ρ(X, Y) =  г)* ρ(F(X),F(Y)) £ ρ(X, Y);; д)* ρ(F(X),F(Y)) ³ ρ(X, Y);. (Вы можете, конечно, предложить и другой план доказательства теоремы.) |
27 Января 2004 21:44 | |
Страницы: 1 2 » |