1863
358
442
всего задач:
всего разделов:
активных пользователей:
  Login: (регистрация)
  Пароль:
    

30 мартра 2005

Форумы снова функционируют.

21 декабря 2004

Видимо в связи с обнаруженными дырами в phpBB, форум был взломан, а через него взломано и всё остальное содержимое ceemat.ru. Всё кроме форума восстановлено, ведется дискуссия по поводу его сохранения.
Приносим извинения за неудобства.

29 сентября 2004

Форум обновился до версии 2.0.10

15 мая 2004

Новый раздел: "Программирование"

16 апреля 2004 года

Задачи Ярославского турнира математических боев — 124 задачи с решениями.

29 марта 2004

Таллинская викторина: занимательные вопросы и задачи для увлеченных химией.

Rambler's Top100

Костромской ЦДООШ СУНЦ МГУ - Школа им. А. Н. Колмогорова.\r\nОфициальный сайт

M781 - M800 (20)

Страницы:  1  2  » 

1.

M781

Постройте прямую, параллельную стороне АС данного треугольника ABC и пересекающую его стороны АВ и ВС в таких точках D и Е соответственно, что AD = BE.

 27 Января 2004     21:35 

2.

M782

Докажите, что если сумма двух натуральных чисел равна 30030, то их произведение не делится на 30030.

 27 Января 2004     21:36 

3.

M783

а) При каком наибольшем n система неравенств

имеет решения?

б) Для каких n существуют такие две прогрессии — арифметическая a1, a2, a3,..., an+1 и геометрическая b1, b2, b3,..., bn, что
a1 < b1 < a2 < b2 < a3 < ... < an < bn < an+1?

 27 Января 2004     21:37 

4.

M784

Шарообразная планета движется по окружности вокруг звезды и вращается вокруг своей оси, причем ось суточного вращения наклонена к плоскости орбиты под углом α (для нашей Земли α = 66,5°).

Найдите зависимость продолжительности Т самого короткого дня в году в данном пункте на поверхности планеты от географической широты φ этого пункта. (Угловая скорость вращения планеты по орбите много меньше угловой скорости вращения планеты вокруг ее оси.)

Напишите формулу для функции Т = Т(φ) и начертите примерный график.

 27 Января 2004     21:38 

5.

M785

a) Про возрастающую последовательность положительных чисел a(n), n = 1, 2, 3,..., известно, что для любого натурального числа k > 1 существует число bk такое, что a(kn£ bka(n) при всех n. Докажите, что существуют положительные числа c и α, для которых a(n£ cnα при всех n ³ 1.

Останется ли верным это утверждение, если в условии

б) слово «любого» заменить на «некоторого»?

в) не требовать, чтобы последовательность a(n) была возрастающей?

 27 Января 2004     21:39 

6.

M786

Докажите, что для любых натуральных k и n (больших 1) число nk можно представить в виде суммы k последовательных нечетных чисел. (Например, 43 = 13 + 15 + 17 + 19; 72 = 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13; 34 = 25 + 27 + 29.)

 27 Января 2004     21:40 

7.

M787

Найдите отношение сторон прямоугольного треугольника, если известно, что одна половина гипотенузы (от вершины до середины гипотенузы) видна из центра вписанной окружности под прямым углом.

 27 Января 2004     21:41 

8.

M788

а) На графике y = x2 отмечены точки A(a; b2) и B(b; b2). Найдите между ними точку M(m; m2), для которой сумма площадей двух сегментов, ограниченных графиком и отрезками AM и BM, наименьшая.

б) На графике дифференцируемой функции y = f(x) отмечены точки А и В. Известно, что график и отрезок АВ ограничивают выпуклую фигуру. Пусть M — точка графика, расположенная между А и B, для которой сумма площадей двух сегментов, ограниченных графиком и отрезками AM и BM, наименьшая. Докажите, что касательная к графику в точке M параллельна хорде АB.

 27 Января 2004     21:42 

9.

M789

а) 10 точек, делящие окружность на 10 равных дуг, попарно соединены пятью хордами. Обязательно ли среди них найдутся хорды одинаковой длины?

б)* 100 точек, делящие окружность на 100 равных дуг, попарно соединены 50 хордами. Докажите, что среди них обязательно найдутся две хорды одинаковой длины.

 27 Января 2004     21:42 

10.

M790

а) Про числовую функцию f известно, что если ½x - y½ = 1, то ½f(x) - f(y)½ = 1.
Верно ли, что при любых x и y будет выполнено равенство ½x - y½ = ½f(x) - f(y)½?

Пусть про отображение F плоскости в себя известно, что любые две точки X, Y, находящиеся на расстоянии 1, оно переводит в две точки F(X), F(Y), также находящиеся на расстоянии 1: ρ(X,Y) = 1 Þ ρ(F(X),F(Y)) = 1.

Тогда для любых двух точек X, Y плоскости
ρ(X, Y) = ρ(F(X),F(Y)),
т.е. отображение F сохраняет расстояние. Докажите следующие утверждения, из которых вытекает эта теорема: для любых X, Y

б) ρ(F(X),F(Y)) £ ρ(X, Y) + 1;

в)* ρ(X, Y) = ; Þ ρ(F(X),F(Y)) = ;

г)*  ρ(F(X),F(Y)) £ ρ(X, Y);;

д)*  ρ(F(X),F(Y)) ³ ρ(X, Y);.

(Вы можете, конечно, предложить и другой план доказательства теоремы.)

 27 Января 2004     21:44 
Задач на странице:  5  10  25