M781 - M800 (20)

1.

M781

Постройте прямую, параллельную стороне АС данного треугольника ABC и пересекающую его стороны АВ и ВС в таких точках D и Е соответственно, что AD = BE.

2.

M782

Докажите, что если сумма двух натуральных чисел равна 30030, то их произведение не делится на 30030.

3.

M783

а) При каком наибольшем n система неравенств

имеет решения?

б) Для каких n существуют такие две прогрессии — арифметическая a₁, a₂, a₃,..., a_n+1 и геометрическая b₁, b₂, b₃,..., b_n, что
a₁ < b₁ < a₂ < b₂ < a₃ < ... < a_n < b_n < a_n+1?

4.

M784

Шарообразная планета движется по окружности вокруг звезды и вращается вокруг своей оси, причем ось суточного вращения наклонена к плоскости орбиты под углом α (для нашей Земли α = 66,5°).

Найдите зависимость продолжительности Т самого короткого дня в году в данном пункте на поверхности планеты от географической широты φ этого пункта. (Угловая скорость вращения планеты по орбите много меньше угловой скорости вращения планеты вокруг ее оси.)

Напишите формулу для функции Т = Т(φ) и начертите примерный график.

5.

M785

a) Про возрастающую последовательность положительных чисел a(n), n = 1, 2, 3,..., известно, что для любого натурального числа k > 1 существует число b_k такое, что a(kn) £ b_ka(n) при всех n. Докажите, что существуют положительные числа c и α, для которых a(n) £ cn^α при всех n ³ 1.

Останется ли верным это утверждение, если в условии

б) слово «любого» заменить на «некоторого»?

в) не требовать, чтобы последовательность a(n) была возрастающей?