M781 - M800 (20)

11.

M791

Пете подарили микрокалькулятор, на котором можно выполнять следующие операции: по любым данным числам x и y вычислить x + y, x + y, x + 1 и 1/x (при x ¹ 0). Петя утверждает, что с помощью своего микрокалькулятора он может:

а) возвести любое число в квадрат, проделав не более шести операций;

б)* перемножить любые два числа, проделав не более двадцати операций.

Как он это делает?

12.

M792

Решите в натуральных числах уравнения

а) 3^x + 1 = 2^y;

б) 3^x - 1 = 2^y.

в)* Найдите все натуральные n, при которых оба числа 1/n и 1/(n+1) выражаются конечными десятичными дробями.

г) Докажите, что при любом простом p > 3 и натуральном m > 1 ни одно из чисел p^m + 1 и p^m - 1 не может быть степенью двойки.

13.

M793*

Из вершины P тетраэдра PАВС проводятся три отрезка PA', PB', PC', перпендикулярные граням PВС, PСА, PАВ и равные по длине площадям этих граней соответственно (направления отрезков выбираются так, что точки A' и А, B' и B, C' и С лежат по разные стороны плоскостей соответствующих граней PВС, PСА, PАВ (показано на рисунке).

Докажите, что

а) повторив это же построение для тетраэдра (и его вершины P), мы получим тетраэдр, гомотетичный исходному тетраэдру PАВС с коэффициентом 3V/4, где V равно объему тетраэдра PАВС;

б) вектор перпендикулярен плоскости АВС.

в) Из точки O, взятой внутри тетраэдра АВСD, опускаются перпендикуляры на плоскости его граней. На этих перпендикулярах от точки O откладываются отрезки, равные по длине площадям соответствующих граней, и концы этих отрезков принимаются за вершины нового тетраэдра А'В'С'D'. (Разумеется, с точностью до параллельного переноса, этот тетраэдр не зависит от выбора точки O.) Докажите, что, повторив это построение для тетраэдра А'В'С'D', мы получим тетраэдр, гомотетичный исходному с коэффициентом 3V, где V — объем исходного тетраэдра АВСD. (Если 3V = 1, то последний тетраэдр получается из исходного параллельным переносом.)

14.

M794

Две окружности пересекаются в точках А и B. Через точку K первой окружности проведены прямые KА и KВ, пересекающие вторую окружность в точках P и Q (показано на рисунке).

Докажите, что хорда PQ второй окружности перпендикулярна диаметру KM первой окружности.

15.

M795

Обозначим через σ(n) все делители натурального числа n (см. таблицу).

Докажите, что существует бесконечно много n таких, что

а) σ(n) > 2n;

б) σ(n) > 3n.

Докажите, что для любого n

в) σ(n) < n(log₂ n + 2);

г) σ(n) < n(ln n + 1).