4. Связь величины угла с длиной дуги и хорды (8)

1.

Задача 2.31

В окружность вписаны равнобедренные трапеции ABCD и A₁B₁C₁D₁ с соответственно параллельными сторонами. Докажите, что AC = A₁C₁.

2.

Задача 2.32

Из точки M, двигающейся по окружности, опускаются перпендикуляры MP и MQ на диаметры AB и CD. Докажите, что длина отрезка PQ не зависит от положения точки M.

3.

Задача 2.33

В треугольнике ABC угол B равен 60°, биссектрисы AD и CE пересекаются в точке O. Докажите, что OD = OE.

4.

Задача 2.34

В треугольнике ABC углы при вершинах B и C равны 40°;  BD — биссектриса угла B. Докажите, что BD + DA = BC.

5.

Задача 2.35

На хорде AB окружности S с центром O взята точка C. Описанная окружность треугольника AOC пересекает окружность S в точке D. Докажите, что BC = CD.

6.

Задача 2.36

Внутри квадрата ABCD выбрана точка M так, что РMAC = РMCD = α. Найдите величину угла ABM.

7.

Задача 2.37

Вершины A и B правильного треугольника ABC лежат на окружности S, а вершина C — внутри этой окружности. Точка D лежит на окружности S, причем BD = AB. Прямая CD пересекает S в точке E. Докажите, что длина отрезка EC равна радиусу окружности S.

8.

Задача 2.38

По неподвижной окружности, касаясь ее изнутри, катится без скольжения окружность вдвое меньшего радиуса. Какую траекторию описывает фиксированная точка K подвижной окружности?