М761 - М780 (20)

6.

M766

Докажите, что сумма квадратов трех последовательных целых чисел не может быть кубом натурального числа.

7.

M767

а) Прямая l делит площадь выпуклого многоугольника пополам. Докажите, что отношение, в котором эта прямая делит проекцию многоугольника на перпендикулярную к ней прямую, не превосходит 1 +  (показано на рисунке a).

б) Каждая из трех прямых делит площадь данной фигуры пополам. Докажите, что площадь части фигуры, заключенной в треугольнике между тремя прямыми, не превосходит 1/4 всей площади фигуры (показано на рисунке б).

8.

M768*

Сумма n чисел, каждое из которых не превосходит по модулю 1, равно s. Докажите, что из них можно выбрать несколько чисел так, что сумма выбранных чисел будет отличаться от s/3 не более чем на 1/3.

9.

M769*

Биссектрисы треугольника АВС пересекаются в точке L, их продолжения пересекают описанную окружность треугольника в точках A₁, B₁, C₁ (показано на рисунке). Пусть R — радиус описанной, r — радиус вписанной окружности треугольника АВС. Докажите равенства

а) ;

б) ;

в) .

10.

M770*

В основании треугольной пирамиды PABC лежит правильный треугольник АВС. Докажите, что если углы PAB, PBC, PCA равны, то пирамида PABC — правильная.