М761 - М780 (20)

16.

M776

На диагоналях АС и СЕ правильного шестиугольника АВСDЕF взяты точки M и N соответственно, такие что
.

Известно, что точки B, M, N лежат на одной прямой. Найдите λ.

17.

M777

Дано уравнение x³ - xy² + y³ = n. Докажите, что

а) если натуральное n таково, что данное уравнение имеет целочисленное решение, то оно имеет по крайней мере три целочисленных решения;

б) при n = 2891 это уравнение не имеет целочисленных решений.

18.

M778*

Дан неравнобедренный треугольник A₁A₂A₃. Пусть a_i — его сторона, лежащая против вершины A_i (i = 1, 2, 3), M_i — середина стороны , T_i — точка касания стороны с окружностью, вписанной в данный треугольник, и S_i — точка, симметричная T_i относительно биссектрисы угла A_i треугольника.

Докажите, что прямые M₁S₁, M₂S₂ и M₃S₃ имеют общую точку.

19.

M779*

Рассматриваются последовательности (x_n) положительных чисел, удовлетворяющие условию
1 = x₀ ³ x₁ ³ x₂ ³ ... ³ x_n³ ...

а) Докажите, что для любой такой последовательности (x_n) существует n, при котором
.

б) Найдите такую последовательность (x_n), удовлетворяющую указанному условию, для которой при любом n
.

20.

M780*

Дан квадрат K со стороной 100. Пусть L — несамопересекающаяся незамкнутая ломаная, лежащая в K, такая, что для любой точки Р границы квадрата K найдется точка ломаной L, расстояние которой от Р не больше 1/2. Докажите, что на ломаной найдутся две точки X и Y, расстояние между которыми не более 1, такие, что длина части ломаной, заключенной между ними, не меньше 198.