М721 - М740 (20)

1.

M721

Каждая сторона треугольника поделена на три равные части. Точки деления служат вершинами двух треугольников, пересечение которых — шестиугольник. Найдите площадь этого шестиугольника, если площадь данного треугольника равна S.

2.

M722

В точках A₁, A₂, ..., A_n, расположенных по окружности, расставляются в некотором порядке числа 1, 2, ..., n.

а) Докажите, что сумма n модулей разностей соседних чисел не меньше 2n - 2.

б) Для какого количества расстановок эта сумма равна 2n - 2?

3.

M723*

Существует ли бесконечное множество натуральных чисел такое, что ни одно из чисел этого множества и никакая сумма нескольких из них не является степенью натурального числа (a², где k ³ 2)?

4.

M724

По плоскости ползут несколько черепах, скорости которых равны по величине, но различны по направлению. Докажите, что как бы черепахи ни были расположены вначале, через некоторое время они будут находиться в вершинах выпуклого многоугольника.

5.

M725*

Положим q_n = .

Найдите

а) q₁ и q₂,

б) q₃ и q₄.

в) Докажите, что q_n — рациональное число при любом n.