1863
358
471
всего задач:
всего разделов:
активных пользователей:
  Login: (регистрация)
  Пароль:
    

30 мартра 2005

Форумы снова функционируют.

21 декабря 2004

Видимо в связи с обнаруженными дырами в phpBB, форум был взломан, а через него взломано и всё остальное содержимое ceemat.ru. Всё кроме форума восстановлено, ведется дискуссия по поводу его сохранения.
Приносим извинения за неудобства.

29 сентября 2004

Форум обновился до версии 2.0.10

15 мая 2004

Новый раздел: "Программирование"

16 апреля 2004 года

Задачи Ярославского турнира математических боев — 124 задачи с решениями.

29 марта 2004

Таллинская викторина: занимательные вопросы и задачи для увлеченных химией.

Rambler's Top100

Костромской ЦДООШ СУНЦ МГУ - Школа им. А. Н. Колмогорова.\r\nОфициальный сайт

М721 - М740 (20)

Страницы:  1 

1.

M721

Каждая сторона треугольника поделена на три равные части. Точки деления служат вершинами двух треугольников, пересечение которых — шестиугольник. Найдите площадь этого шестиугольника, если площадь данного треугольника равна S.

 18 Января 2004     14:36 

2.

M722

В точках A1, A2, ..., An, расположенных по окружности, расставляются в некотором порядке числа 1, 2, ..., n.

а) Докажите, что сумма n модулей разностей соседних чисел не меньше 2n - 2.

б) Для какого количества расстановок эта сумма равна 2n - 2?

 18 Января 2004     14:37 

3.

M723*

Существует ли бесконечное множество натуральных чисел такое, что ни одно из чисел этого множества и никакая сумма нескольких из них не является степенью натурального числа (a2, где k ³ 2)?

 18 Января 2004     14:38 

4.

M724

По плоскости ползут несколько черепах, скорости которых равны по величине, но различны по направлению. Докажите, что как бы черепахи ни были расположены вначале, через некоторое время они будут находиться в вершинах выпуклого многоугольника.

 18 Января 2004     14:39 

5.

M725*

Положим qn = .

Найдите

а) q1 и q2,

б) q3 и q4.

в) Докажите, что qn — рациональное число при любом n.

 18 Января 2004     14:41 

6.

M726

Точка внутри правильного 2n-угольника соединена с вершинами. Возникшие 2n треугольников раскрашены попеременно в голубой и красный цвет. Докажите, что сумма площадей голубых треугольников равна сумме площадей красных

а) для n = 4,

б) для n = 3,

в) для любого натурального n.

 18 Января 2004     14:42 

7.

M727

Докажите неравенство a2 + b2 + c2 + 2abc < 2, где a, b, c — длины сторон треугольника с периметром 2.

 18 Января 2004     14:43 

8.

M728

Пусть А, В, С — вершины параллелепипеда, соседние с его вершиной P, а Q — вершина, противоположная Р.

Докажите, что

а) расстояния от точек А, В, С до прямой РQ могут служить длинами сторон некоторого треугольника;

б) площадь S этого треугольника, объем V параллелепипеда и длина d его диагонали PQ связаны соотношением V = 2dS.

 18 Января 2004     14:45 

9.

M729

Найдите натуральное число, обладающее следующим свойством: если записать рядом его квадрат и его куб, а затем переставить написанные цифры в обратном порядке, получится шестая степень этого числа.

 18 Января 2004     14:47 

10.

M730*

Последовательность (an) определяется условиями a1 = 0, a2n+1 = a2n = n - an.
(Например,
a10 = 5 - a5 = 5 - (2 - a2) = 3 + (1 - a1) = 4.)

а) Выпишите первые 20 членов последовательности и найдите a1982.

б) Докажите, что каждое натуральное число входит в последовательность 2 или 4 раза. Сколько раз встретится в ней число 2k (при каждом k = 1, 2, 3, ...)?

в) Докажите, что разность an - an-1 равна 1, если в разложение числа n на простые множители число 2 входит в нечетной степени, и 0 — в противном случае.

г) Докажите, что an = n / 3 для бесконечного множества значений n.

д) Найдется ли n такое, что разность ½an - n / 3½ больше 1982?

е) Докажите, что lim an/n = 1/3.

 18 Января 2004     14:49 

11.

M731

Двое играют в такую игру: первый называет натуральное число от 2 до 9; второй умножает это число на произвольное натуральное число от 2 до 9; затем первый умножает результат на любое натуральное число от 2 до 9 и т. д.; выигрывает тот, кто первым получит произведение больше
а) тысячи,
б) миллиона.
Кто выигрывает при правильной игре — начинающий или его партнер?

 18 Января 2004     14:50 

12.

M732

а) В треугольник ABC вписаны два разных прямоугольника так, что на основании AC лежат по две вершины каждого прямоугольника (а на сторонах AB и BC — по одной). Периметр каждого из прямоугольников равен 10. Найдите площадь треугольника ABC и докажите, что периметр любого вписанного в треугольник ABC прямоугольника, две вершины которого лежат на AC, тоже равен 10.

б) В четырехугольник ABCD вписаны два прямоугольника с паралельными сторонами (так, что на каждой из сторон AB, BC, CD, DA лежит по одной вершине каждого прямоугольника). Периметр каждого из прямоугольников равен 10. Найдите площадь четырехугольника ABCD и докажите, что для любой точки на любой из сторон четырехугольника ABCD можно построить вписанный прямоугольник с вершиной в этой точке, стороны которого параллельны сторонам данного прямоугольникa и периметр которого также равен 10.

 18 Января 2004     14:51 

13.

M733

а) При каких натуральных m число 31m - 1 делится на 2m?

б)* Докажите, что для любого нечетного а и натурального m существует бесконечно много натуральных k таких, что ak - 1 делится на 2m.

в)* Докажите, что для любого нечетного а существует лишь конечное число натуральных m таких, что ak - 1 делится на 2m.

 18 Января 2004     14:52 

14.

M734

Биссектриса угла А треугольника ABC пересекает описанную вокруг него окружность в точке K. Докажите, что длина проекции отрезка AK на прямую AB (или AC) равна полусумме длин сторон AB и AC.

 18 Января 2004     15:00 

15.

M735*

а) Докажите, что круг диаметром 1 нельзя покрыть несколькими бумажными полосами, суммарная ширина которых меньше 1 (показано на рисунке).

б) Назовем слоем толщиной h часть пространства, заключенного между параллельными плоскостями, находящимися на расстоянии h друг от друга. Докажите, что шар диаметром 1 нельзя покрыть несколькими слоями, суммарная толщина которых меньше 1.

 18 Января 2004     15:01 

16.

M736

Медиана ВK и биссектриса СL треугольника АВС пересекаются в точке Р. Докажите равенство

.

 18 Января 2004     15:05 

17.

M737

Обозначим через dk количество таких домов в вашем городе, в которых живет не меньше k жителей (d1 ³ d2 ³d3 ³...), и через cm — количество жителей в m-м по величине населения доме (c1 ³ c2 ³c3 ³...). Докажите равенства

а) c1 + c2 + c3 +... = d1 + d2 + d3 +...;

б) c12 + c22 + c32 +... = d1 + 3d2 + 5d3 +...+ (2k - 1)dk +...;

в) d12 + d22 + d32 +... = c1 + 3c2 + 5c3 +...+ (2k - 1)cm +...

 18 Января 2004     15:06 

18.

M738*

Докажите, что

а) количество прямых различных направлений, на которые данный n-угольник дает одинаковые по величине проекции, не превосходит 2n;

б) максимальное число таких прямых для любого многоугольника четно;

в) для треугольника это число больше трех тогда и только тогда, когда треугольник остроугольный.

 18 Января 2004     15:07 

19.

M739

Докажите,что при любом значении х, для которого левая часть имеет смысл, выполнены равенства

a)

б)
где n — нечетное число, cn — константа (зависящая от n).

в)* Найдите cn для каждого нечетного n = 5, 7, ...

 18 Января 2004     15:08 

20.

M740

Сережа насыпал в цилиндрическую кастрюлю немного пшена и спросил соседку тетю Люду: «Сколько нужно налить воды, чтобы получилась вкусная каша?» — «Это очень просто, — отвечала соседка. — Наклони кастрюлю — вот так; постучи, чтобы крупа пересыпалась и закрыла ровно половину дна. Теперь заметь точку на кастрюле, ближайшую к краю, до которой поднялась крупа — и зажми ее пальцем! До этого уровня и надо налить воду» (показано на рисунке). — «Так ведь пшена можно насыпать побольше и поменьше, да и кастрюли бывают разные — широкие и узкие», — усомнился Сережа. «Все равно, мой способ годится в любом случае!» — гордо ответила тетя Люда.

а) Докажите, что тетя Люда права: отношение объемов воды и пшена по ее рецепту всегда получается одинаковым.

б) Чему равно это отношение?

 18 Января 2004     15:09 
Задач на странице:  5  10  25