М721 - М740 (20)

1.

M721

Каждая сторона треугольника поделена на три равные части. Точки деления служат вершинами двух треугольников, пересечение которых — шестиугольник. Найдите площадь этого шестиугольника, если площадь данного треугольника равна S.

2.

M722

В точках A₁, A₂, ..., A_n, расположенных по окружности, расставляются в некотором порядке числа 1, 2, ..., n.

а) Докажите, что сумма n модулей разностей соседних чисел не меньше 2n - 2.

б) Для какого количества расстановок эта сумма равна 2n - 2?

3.

M723*

Существует ли бесконечное множество натуральных чисел такое, что ни одно из чисел этого множества и никакая сумма нескольких из них не является степенью натурального числа (a², где k ³ 2)?

4.

M724

По плоскости ползут несколько черепах, скорости которых равны по величине, но различны по направлению. Докажите, что как бы черепахи ни были расположены вначале, через некоторое время они будут находиться в вершинах выпуклого многоугольника.

5.

M725*

Положим q_n = .

Найдите

а) q₁ и q₂,

б) q₃ и q₄.

в) Докажите, что q_n — рациональное число при любом n.

6.

M726

Точка внутри правильного 2n-угольника соединена с вершинами. Возникшие 2n треугольников раскрашены попеременно в голубой и красный цвет. Докажите, что сумма площадей голубых треугольников равна сумме площадей красных

а) для n = 4,

б) для n = 3,

в) для любого натурального n.

7.

M727

Докажите неравенство a² + b² + c² + 2abc < 2, где a, b, c — длины сторон треугольника с периметром 2.

8.

M728

Пусть А, В, С — вершины параллелепипеда, соседние с его вершиной P, а Q — вершина, противоположная Р.

Докажите, что

а) расстояния от точек А, В, С до прямой РQ могут служить длинами сторон некоторого треугольника;

б) площадь S этого треугольника, объем V параллелепипеда и длина d его диагонали PQ связаны соотношением V = 2dS.

9.

M729

Найдите натуральное число, обладающее следующим свойством: если записать рядом его квадрат и его куб, а затем переставить написанные цифры в обратном порядке, получится шестая степень этого числа.

10.

M730*

Последовательность (a_n) определяется условиями a₁ = 0, a_2n+1 = a_2n = n - a_n.
(Например,
a₁₀ = 5 - a₅ = 5 - (2 - a₂) = 3 + (1 - a₁) = 4.)

а) Выпишите первые 20 членов последовательности и найдите a₁₉₈₂.

б) Докажите, что каждое натуральное число входит в последовательность 2 или 4 раза. Сколько раз встретится в ней число 2k (при каждом k = 1, 2, 3, ...)?

в) Докажите, что разность a_n - a_n-1 равна 1, если в разложение числа n на простые множители число 2 входит в нечетной степени, и 0 — в противном случае.

г) Докажите, что a_n = n / 3 для бесконечного множества значений n.

д) Найдется ли n такое, что разность ½a_n - n / 3½ больше 1982?

е) Докажите, что lim a_n/n = 1/3.

11.

M731

Двое играют в такую игру: первый называет натуральное число от 2 до 9; второй умножает это число на произвольное натуральное число от 2 до 9; затем первый умножает результат на любое натуральное число от 2 до 9 и т. д.; выигрывает тот, кто первым получит произведение больше
а) тысячи,
б) миллиона.
Кто выигрывает при правильной игре — начинающий или его партнер?

12.

M732

а) В треугольник ABC вписаны два разных прямоугольника так, что на основании AC лежат по две вершины каждого прямоугольника (а на сторонах AB и BC — по одной). Периметр каждого из прямоугольников равен 10. Найдите площадь треугольника ABC и докажите, что периметр любого вписанного в треугольник ABC прямоугольника, две вершины которого лежат на AC, тоже равен 10.

б) В четырехугольник ABCD вписаны два прямоугольника с паралельными сторонами (так, что на каждой из сторон AB, BC, CD, DA лежит по одной вершине каждого прямоугольника). Периметр каждого из прямоугольников равен 10. Найдите площадь четырехугольника ABCD и докажите, что для любой точки на любой из сторон четырехугольника ABCD можно построить вписанный прямоугольник с вершиной в этой точке, стороны которого параллельны сторонам данного прямоугольникa и периметр которого также равен 10.

13.

M733

а) При каких натуральных m число 31^m - 1 делится на 2^m?

б)* Докажите, что для любого нечетного а и натурального m существует бесконечно много натуральных k таких, что a^k - 1 делится на 2^m.

в)* Докажите, что для любого нечетного а существует лишь конечное число натуральных m таких, что a^k - 1 делится на 2^m.

14.

M734

Биссектриса угла А треугольника ABC пересекает описанную вокруг него окружность в точке K. Докажите, что длина проекции отрезка AK на прямую AB (или AC) равна полусумме длин сторон AB и AC.

15.

M735*

а) Докажите, что круг диаметром 1 нельзя покрыть несколькими бумажными полосами, суммарная ширина которых меньше 1 (показано на рисунке).

б) Назовем слоем толщиной h часть пространства, заключенного между параллельными плоскостями, находящимися на расстоянии h друг от друга. Докажите, что шар диаметром 1 нельзя покрыть несколькими слоями, суммарная толщина которых меньше 1.

16.

M736

Медиана ВK и биссектриса СL треугольника АВС пересекаются в точке Р. Докажите равенство

.

17.

M737

Обозначим через d_k количество таких домов в вашем городе, в которых живет не меньше k жителей (d₁ ³ d₂ ³d₃ ³...), и через c_m — количество жителей в m-м по величине населения доме (c₁ ³ c₂ ³c₃ ³...). Докажите равенства

а) c₁ + c₂ + c₃ +... = d₁ + d₂ + d₃ +...;

б) c₁² + c₂² + c₃² +... = d₁ + 3d₂ + 5d₃ +...+ (2k - 1)d_k +...;

в) d₁² + d₂² + d₃² +... = c₁ + 3c₂ + 5c₃ +...+ (2k - 1)c_m +...

18.

M738*

Докажите, что

а) количество прямых различных направлений, на которые данный n-угольник дает одинаковые по величине проекции, не превосходит 2n;

б) максимальное число таких прямых для любого многоугольника четно;

в) для треугольника это число больше трех тогда и только тогда, когда треугольник остроугольный.

19.

M739

Докажите,что при любом значении х, для которого левая часть имеет смысл, выполнены равенства

a)

б)
где n — нечетное число, c_n — константа (зависящая от n).

в)* Найдите c_n для каждого нечетного n = 5, 7, ...

20.

M740

Сережа насыпал в цилиндрическую кастрюлю немного пшена и спросил соседку тетю Люду: «Сколько нужно налить воды, чтобы получилась вкусная каша?» — «Это очень просто, — отвечала соседка. — Наклони кастрюлю — вот так; постучи, чтобы крупа пересыпалась и закрыла ровно половину дна. Теперь заметь точку на кастрюле, ближайшую к краю, до которой поднялась крупа — и зажми ее пальцем! До этого уровня и надо налить воду» (показано на рисунке). — «Так ведь пшена можно насыпать побольше и поменьше, да и кастрюли бывают разные — широкие и узкие», — усомнился Сережа. «Все равно, мой способ годится в любом случае!» — гордо ответила тетя Люда.

а) Докажите, что тетя Люда права: отношение объемов воды и пшена по ее рецепту всегда получается одинаковым.

б) Чему равно это отношение?