358
471
всего разделов:
активных пользователей:
30 мартра 2005
Форумы снова функционируют.
21 декабря 2004
Видимо в связи с обнаруженными дырами в phpBB, форум был взломан, а через него взломано и всё остальное содержимое ceemat.ru. Всё кроме форума восстановлено, ведется дискуссия по поводу его сохранения.
Приносим извинения за неудобства.
29 сентября 2004
Форум обновился до версии 2.0.10
15 мая 2004
Новый раздел: "Программирование"
16 апреля 2004 года
Задачи Ярославского турнира математических боев — 124 задачи с решениями.
29 марта 2004
Таллинская викторина: занимательные вопросы и задачи для увлеченных химией.
М721 - М740 (20)
Страницы: 1 | |
1. | M721 Каждая сторона треугольника поделена на три равные части. Точки деления служат вершинами двух треугольников, пересечение которых — шестиугольник. Найдите площадь этого шестиугольника, если площадь данного треугольника равна S. |
18 Января 2004 14:36 | |
2. | M722 В точках A1, A2, ..., An, расположенных по окружности, расставляются в некотором порядке числа 1, 2, ..., n. а) Докажите, что сумма n модулей разностей соседних чисел не меньше 2n - 2. б) Для какого количества расстановок эта сумма равна 2n - 2? |
18 Января 2004 14:37 | |
3. | M723* Существует ли бесконечное множество натуральных чисел такое, что ни одно из чисел этого множества и никакая сумма нескольких из них не является степенью натурального числа (a2, где k ³ 2)? |
18 Января 2004 14:38 | |
4. | M724 По плоскости ползут несколько черепах, скорости которых равны по величине, но различны по направлению. Докажите, что как бы черепахи ни были расположены вначале, через некоторое время они будут находиться в вершинах выпуклого многоугольника. |
18 Января 2004 14:39 | |
5. | M725* Положим qn = Найдите а) q1 и q2, б) q3 и q4. в) Докажите, что qn — рациональное число при любом n. |
18 Января 2004 14:41 | |
6. | M726 Точка внутри правильного 2n-угольника соединена с вершинами. Возникшие 2n треугольников раскрашены попеременно в голубой и красный цвет. Докажите, что сумма площадей голубых треугольников равна сумме площадей красных а) для n = 4, б) для n = 3, в) для любого натурального n. |
18 Января 2004 14:42 | |
7. | M727 Докажите неравенство
|
18 Января 2004 14:43 | |
8. | M728 Пусть А, В, С — вершины параллелепипеда, соседние с его вершиной P, а Q — вершина, противоположная Р. Докажите, что а) расстояния от точек А, В, С до прямой РQ могут служить длинами сторон некоторого треугольника; б) площадь S этого треугольника, объем V параллелепипеда и длина d его диагонали PQ связаны соотношением V = 2dS. |
18 Января 2004 14:45 | |
9. | M729 Найдите натуральное число, обладающее следующим свойством: если записать рядом его квадрат и его куб, а затем переставить написанные цифры в обратном порядке, получится шестая степень этого числа. |
18 Января 2004 14:47 | |
10. | M730* Последовательность (an) определяется условиями
а) Выпишите первые 20 членов последовательности и найдите a1982. б) Докажите, что каждое натуральное число входит в последовательность 2 или 4 раза. Сколько раз встретится в ней число 2k (при каждом k = 1, 2, 3, ...)? в) Докажите, что разность
г) Докажите, что an = n / 3 для бесконечного множества значений n. д) Найдется ли n такое, что разность
е) Докажите, что |
18 Января 2004 14:49 | |
11. | M731 Двое играют в такую игру: первый называет натуральное число от 2 до 9;
второй умножает это число на произвольное натуральное число от 2 до 9; затем
первый умножает результат на любое натуральное число от 2 до 9 и т. д.; выигрывает
тот, кто первым получит произведение больше
|
18 Января 2004 14:50 | |
12. | M732 а) В треугольник ABC вписаны два разных прямоугольника так, что на основании AC лежат по две вершины каждого прямоугольника (а на сторонах AB и BC — по одной). Периметр каждого из прямоугольников равен 10. Найдите площадь треугольника ABC и докажите, что периметр любого вписанного в треугольник ABC прямоугольника, две вершины которого лежат на AC, тоже равен 10. б) В четырехугольник ABCD вписаны два прямоугольника с паралельными сторонами (так, что на каждой из сторон AB, BC, CD, DA лежит по одной вершине каждого прямоугольника). Периметр каждого из прямоугольников равен 10. Найдите площадь четырехугольника ABCD и докажите, что для любой точки на любой из сторон четырехугольника ABCD можно построить вписанный прямоугольник с вершиной в этой точке, стороны которого параллельны сторонам данного прямоугольникa и периметр которого также равен 10. |
18 Января 2004 14:51 | |
13. | M733 а) При каких натуральных m число 31m - 1 делится на 2m? б)* Докажите, что для любого нечетного а и натурального m существует
бесконечно много натуральных k таких, что
в)* Докажите, что для любого нечетного а существует лишь конечное число
натуральных m таких, что |
18 Января 2004 14:52 | |
14. | M734 Биссектриса угла А треугольника ABC пересекает описанную вокруг него окружность в точке K. Докажите, что длина проекции отрезка AK на прямую AB (или AC) равна полусумме длин сторон AB и AC. |
18 Января 2004 15:00 | |
15. | M735*
б) Назовем слоем толщиной h часть пространства, заключенного между параллельными плоскостями, находящимися на расстоянии h друг от друга. Докажите, что шар диаметром 1 нельзя покрыть несколькими слоями, суммарная толщина которых меньше 1. |
18 Января 2004 15:01 | |
16. | M736 Медиана ВK и биссектриса СL треугольника АВС пересекаются в точке Р. Докажите равенство
|
18 Января 2004 15:05 | |
17. | M737 Обозначим через dk количество таких домов в вашем городе, в которых живет не меньше k жителей (d1 ³ d2 ³d3 ³...), и через cm — количество жителей в m-м по величине населения доме (c1 ³ c2 ³c3 ³...). Докажите равенства а) б) в) |
18 Января 2004 15:06 | |
18. | M738* Докажите, что а) количество прямых различных направлений, на которые данный n-угольник дает одинаковые по величине проекции, не превосходит 2n; б) максимальное число таких прямых для любого многоугольника четно; в) для треугольника это число больше трех тогда и только тогда, когда треугольник остроугольный. |
18 Января 2004 15:07 | |
19. | M739 Докажите,что при любом значении х, для которого левая часть имеет смысл, выполнены равенства a) б) в)* Найдите cn для каждого нечетного n = 5, 7, ... |
18 Января 2004 15:08 | |
20. | M740
Сережа насыпал в цилиндрическую кастрюлю немного пшена и спросил соседку тетю Люду: «Сколько нужно налить воды, чтобы получилась вкусная каша?» — «Это очень просто, — отвечала соседка. — Наклони кастрюлю — вот так; постучи, чтобы крупа пересыпалась и закрыла ровно половину дна. Теперь заметь точку на кастрюле, ближайшую к краю, до которой поднялась крупа — и зажми ее пальцем! До этого уровня и надо налить воду» (показано на рисунке). — «Так ведь пшена можно насыпать побольше и поменьше, да и кастрюли бывают разные — широкие и узкие», — усомнился Сережа. «Все равно, мой способ годится в любом случае!» — гордо ответила тетя Люда. а) Докажите, что тетя Люда права: отношение объемов воды и пшена по ее рецепту всегда получается одинаковым. б) Чему равно это отношение? |
18 Января 2004 15:09 | |
Страницы: 1 |