М721 - М740 (20)

11.

M731

Двое играют в такую игру: первый называет натуральное число от 2 до 9; второй умножает это число на произвольное натуральное число от 2 до 9; затем первый умножает результат на любое натуральное число от 2 до 9 и т. д.; выигрывает тот, кто первым получит произведение больше
а) тысячи,
б) миллиона.
Кто выигрывает при правильной игре — начинающий или его партнер?

12.

M732

а) В треугольник ABC вписаны два разных прямоугольника так, что на основании AC лежат по две вершины каждого прямоугольника (а на сторонах AB и BC — по одной). Периметр каждого из прямоугольников равен 10. Найдите площадь треугольника ABC и докажите, что периметр любого вписанного в треугольник ABC прямоугольника, две вершины которого лежат на AC, тоже равен 10.

б) В четырехугольник ABCD вписаны два прямоугольника с паралельными сторонами (так, что на каждой из сторон AB, BC, CD, DA лежит по одной вершине каждого прямоугольника). Периметр каждого из прямоугольников равен 10. Найдите площадь четырехугольника ABCD и докажите, что для любой точки на любой из сторон четырехугольника ABCD можно построить вписанный прямоугольник с вершиной в этой точке, стороны которого параллельны сторонам данного прямоугольникa и периметр которого также равен 10.

13.

M733

а) При каких натуральных m число 31^m - 1 делится на 2^m?

б)* Докажите, что для любого нечетного а и натурального m существует бесконечно много натуральных k таких, что a^k - 1 делится на 2^m.

в)* Докажите, что для любого нечетного а существует лишь конечное число натуральных m таких, что a^k - 1 делится на 2^m.

14.

M734

Биссектриса угла А треугольника ABC пересекает описанную вокруг него окружность в точке K. Докажите, что длина проекции отрезка AK на прямую AB (или AC) равна полусумме длин сторон AB и AC.

15.

M735*

а) Докажите, что круг диаметром 1 нельзя покрыть несколькими бумажными полосами, суммарная ширина которых меньше 1 (показано на рисунке).

б) Назовем слоем толщиной h часть пространства, заключенного между параллельными плоскостями, находящимися на расстоянии h друг от друга. Докажите, что шар диаметром 1 нельзя покрыть несколькими слоями, суммарная толщина которых меньше 1.