1863
358
442
всего задач:
всего разделов:
активных пользователей:
  Login: (регистрация)
  Пароль:
    

30 мартра 2005

Форумы снова функционируют.

21 декабря 2004

Видимо в связи с обнаруженными дырами в phpBB, форум был взломан, а через него взломано и всё остальное содержимое ceemat.ru. Всё кроме форума восстановлено, ведется дискуссия по поводу его сохранения.
Приносим извинения за неудобства.

29 сентября 2004

Форум обновился до версии 2.0.10

15 мая 2004

Новый раздел: "Программирование"

16 апреля 2004 года

Задачи Ярославского турнира математических боев — 124 задачи с решениями.

29 марта 2004

Таллинская викторина: занимательные вопросы и задачи для увлеченных химией.

Rambler's Top100

Костромской ЦДООШ СУНЦ МГУ - Школа им. А. Н. Колмогорова.\r\nОфициальный сайт

М721 - М740 (20)

Страницы:  1  2  » 

1.

M721

Каждая сторона треугольника поделена на три равные части. Точки деления служат вершинами двух треугольников, пересечение которых — шестиугольник. Найдите площадь этого шестиугольника, если площадь данного треугольника равна S.

 18 Января 2004     14:36 

2.

M722

В точках A1, A2, ..., An, расположенных по окружности, расставляются в некотором порядке числа 1, 2, ..., n.

а) Докажите, что сумма n модулей разностей соседних чисел не меньше 2n - 2.

б) Для какого количества расстановок эта сумма равна 2n - 2?

 18 Января 2004     14:37 

3.

M723*

Существует ли бесконечное множество натуральных чисел такое, что ни одно из чисел этого множества и никакая сумма нескольких из них не является степенью натурального числа (a2, где k ³ 2)?

 18 Января 2004     14:38 

4.

M724

По плоскости ползут несколько черепах, скорости которых равны по величине, но различны по направлению. Докажите, что как бы черепахи ни были расположены вначале, через некоторое время они будут находиться в вершинах выпуклого многоугольника.

 18 Января 2004     14:39 

5.

M725*

Положим qn = .

Найдите

а) q1 и q2,

б) q3 и q4.

в) Докажите, что qn — рациональное число при любом n.

 18 Января 2004     14:41 

6.

M726

Точка внутри правильного 2n-угольника соединена с вершинами. Возникшие 2n треугольников раскрашены попеременно в голубой и красный цвет. Докажите, что сумма площадей голубых треугольников равна сумме площадей красных

а) для n = 4,

б) для n = 3,

в) для любого натурального n.

 18 Января 2004     14:42 

7.

M727

Докажите неравенство a2 + b2 + c2 + 2abc < 2, где a, b, c — длины сторон треугольника с периметром 2.

 18 Января 2004     14:43 

8.

M728

Пусть А, В, С — вершины параллелепипеда, соседние с его вершиной P, а Q — вершина, противоположная Р.

Докажите, что

а) расстояния от точек А, В, С до прямой РQ могут служить длинами сторон некоторого треугольника;

б) площадь S этого треугольника, объем V параллелепипеда и длина d его диагонали PQ связаны соотношением V = 2dS.

 18 Января 2004     14:45 

9.

M729

Найдите натуральное число, обладающее следующим свойством: если записать рядом его квадрат и его куб, а затем переставить написанные цифры в обратном порядке, получится шестая степень этого числа.

 18 Января 2004     14:47 

10.

M730*

Последовательность (an) определяется условиями a1 = 0, a2n+1 = a2n = n - an.
(Например,
a10 = 5 - a5 = 5 - (2 - a2) = 3 + (1 - a1) = 4.)

а) Выпишите первые 20 членов последовательности и найдите a1982.

б) Докажите, что каждое натуральное число входит в последовательность 2 или 4 раза. Сколько раз встретится в ней число 2k (при каждом k = 1, 2, 3, ...)?

в) Докажите, что разность an - an-1 равна 1, если в разложение числа n на простые множители число 2 входит в нечетной степени, и 0 — в противном случае.

г) Докажите, что an = n / 3 для бесконечного множества значений n.

д) Найдется ли n такое, что разность ½an - n / 3½ больше 1982?

е) Докажите, что lim an/n = 1/3.

 18 Января 2004     14:49 
Задач на странице:  5  10  25