М721 - М740 (20)

1.

M721

Каждая сторона треугольника поделена на три равные части. Точки деления служат вершинами двух треугольников, пересечение которых — шестиугольник. Найдите площадь этого шестиугольника, если площадь данного треугольника равна S.

2.

M722

В точках A₁, A₂, ..., A_n, расположенных по окружности, расставляются в некотором порядке числа 1, 2, ..., n.

а) Докажите, что сумма n модулей разностей соседних чисел не меньше 2n - 2.

б) Для какого количества расстановок эта сумма равна 2n - 2?

3.

M723*

Существует ли бесконечное множество натуральных чисел такое, что ни одно из чисел этого множества и никакая сумма нескольких из них не является степенью натурального числа (a², где k ³ 2)?

4.

M724

По плоскости ползут несколько черепах, скорости которых равны по величине, но различны по направлению. Докажите, что как бы черепахи ни были расположены вначале, через некоторое время они будут находиться в вершинах выпуклого многоугольника.

5.

M725*

Положим q_n = .

Найдите

а) q₁ и q₂,

б) q₃ и q₄.

в) Докажите, что q_n — рациональное число при любом n.

6.

M726

Точка внутри правильного 2n-угольника соединена с вершинами. Возникшие 2n треугольников раскрашены попеременно в голубой и красный цвет. Докажите, что сумма площадей голубых треугольников равна сумме площадей красных

а) для n = 4,

б) для n = 3,

в) для любого натурального n.

7.

M727

Докажите неравенство a² + b² + c² + 2abc < 2, где a, b, c — длины сторон треугольника с периметром 2.

8.

M728

Пусть А, В, С — вершины параллелепипеда, соседние с его вершиной P, а Q — вершина, противоположная Р.

Докажите, что

а) расстояния от точек А, В, С до прямой РQ могут служить длинами сторон некоторого треугольника;

б) площадь S этого треугольника, объем V параллелепипеда и длина d его диагонали PQ связаны соотношением V = 2dS.

9.

M729

Найдите натуральное число, обладающее следующим свойством: если записать рядом его квадрат и его куб, а затем переставить написанные цифры в обратном порядке, получится шестая степень этого числа.

10.

M730*

Последовательность (a_n) определяется условиями a₁ = 0, a_2n+1 = a_2n = n - a_n.
(Например,
a₁₀ = 5 - a₅ = 5 - (2 - a₂) = 3 + (1 - a₁) = 4.)

а) Выпишите первые 20 членов последовательности и найдите a₁₉₈₂.

б) Докажите, что каждое натуральное число входит в последовательность 2 или 4 раза. Сколько раз встретится в ней число 2k (при каждом k = 1, 2, 3, ...)?

в) Докажите, что разность a_n - a_n-1 равна 1, если в разложение числа n на простые множители число 2 входит в нечетной степени, и 0 — в противном случае.

г) Докажите, что a_n = n / 3 для бесконечного множества значений n.

д) Найдется ли n такое, что разность ½a_n - n / 3½ больше 1982?

е) Докажите, что lim a_n/n = 1/3.